Betriebsfestigkeit nach Palmgren-Miner
Bewerten Sie Lastkollektive nach der linearen Schadensakkumulation von Palmgren-Miner: Aus Kollektivstufen und Wöhlerlinie folgen Teilschädigungen, Schadenssumme, Auslastung gegen die zulässige Schadenssumme und die rechnerische Lebensdauer. Drei Miner-Varianten (original, elementar, modifiziert nach Haibach) sind direkt vergleichbar, live mit jeder Eingabe.
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Formeln und Grundlagen
Wöhlerlinie im Zeitfestigkeitsbereich
Im Zeitfestigkeitsbereich verläuft die Wöhlerlinie im doppelt-logarithmischen Netz als Gerade (Basquin-Ansatz). Mit dem Knickpunkt aus Dauerfestigkeitsamplitude σ_D und Knickpunkt-Schwingspielzahl N_D gilt für Amplituden σ_a ≥ σ_D:
Der Neigungsexponent k beschreibt, wie stark die ertragbare Schwingspielzahl mit der Amplitude fällt: je größer k, desto flacher die Linie.
Schadenssumme je Kollektivstufe
Jede Kollektivstufe i mit Amplitude σ_a,_i und Schwingspielzahl n_i verbraucht den Lebensdaueranteil d_i, die Schadenssumme ist die Summe aller Teilschädigungen:
Bei D = 1 ist die theoretische Lebensdauer aufgebraucht; praktisch wird gegen eine zulässige Schadenssumme D_zul geprüft, weil die Miner-Regel die Lebensdauer im Mittel überschätzt.
Miner-Varianten
Die drei Varianten unterscheiden sich nur in der Behandlung von Amplituden unterhalb der Dauerfestigkeit: Miner original nimmt an, dass sie gar nicht schädigen (N_i = ∞). Miner elementar verlängert die Zeitfestigkeitsgerade unverändert mit der Neigung k nach unten - die konservativste einfache Annahme. Die Modifikation nach Haibach verlängert mit der flacheren Neigung 2k−1, weil Vorschädigung durch große Amplituden die Dauerfestigkeit allmählich absenkt, kleine Amplituden aber schwächer schädigen, als die unveränderte Gerade unterstellt. Es gilt stets:
Auslastung und Lebensdauer
Aus der Schadenssumme folgt die Auslastung:
Nachweis erfüllt für a ≤ 1. Daraus folgen die ertragbaren Kollektivwiederholungen H und die Gesamtschwingspiele bis zum Erreichen von D_zul:
Voraussetzung des Modells: Die Schädigung wächst linear und reihenfolgeunabhängig, und Wöhlerlinie und Kollektiv gehören zum selben Spannungsverhältnis bzw. zur selben Mittelspannung.
Rechenbeispiel
Vierstufenkollektiv an einer Bauteil-Wöhlerlinie mit σ_D = 200 N/mm², N_D = 10⁶ und k = 5 (typische Richtwerte für nicht geschweißte Stahlbauteile): Stufe 1 mit 400 N/mm² und 1 000 Zyklen, Stufe 2 mit 300 N/mm² und 5 000 Zyklen, Stufe 3 mit 250 N/mm² und 20 000 Zyklen, Stufe 4 mit 150 N/mm² und 100 000 Zyklen.
Die Stufen 1 bis 3 liegen oberhalb von σ_D und sind in allen Varianten gleich: N₁ = 10⁶ · (200/400)⁵ = 31 250 ergibt d₁ = 0,0320; N₂ = 10⁶ · (200/300)⁵ ≈ 131 687 ergibt d₂ = 0,0380; N₃ = 10⁶ · (200/250)⁵ = 327 680 ergibt d₃ = 0,0610.
Stufe 4 liegt mit 150 N/mm² unter der Dauerfestigkeit und trennt die Varianten: original zählt sie nicht (D = 0,1310), elementar rechnet N₄ = 10⁶ · (4/3)⁵ ≈ 4,214 · 10⁶ und kommt auf D = 0,1547, Haibach mit Neigung 2k−1 = 9 auf N₄ ≈ 1,332 · 10⁷ und D = 0,1385.
Mit D_zul = 0,3 (Praxisempfehlung nicht geschweißt) erträgt das Bauteil nach der elementaren Variante H = 0,3 / 0,1547 ≈ 1,94 Kollektivwiederholungen, das sind rund 2,44 · 10⁵ Schwingspiele. Nach Miner original wären es 2,29 Wiederholungen - die Variantenwahl ist eine Ingenieursentscheidung, keine Formsache.
Häufige Fragen
Welche Miner-Variante soll ich wählen?
Ohne genauere Kenntnis des Kollektivs ist Miner elementar die sichere Wahl, weil es Amplituden unter der Dauerfestigkeit voll mitzählt. Die Modifikation nach Haibach (Neigung 2k−1) ist der verbreitete Praxis-Kompromiss. Miner original liegt bei Kollektiven mit großem Anteil unterhalb der Dauerfestigkeit tendenziell auf der unsicheren Seite.
Warum wird eine zulässige Schadenssumme unter 1,0 empfohlen?
Vergleichsauswertungen zeigen, dass die tatsächliche Schadenssumme beim Versagen stark streut und die Miner-Regel die Lebensdauer im Mittel überschätzt. Ohne Versuchsabsicherung ist D_zul = 0,3 für nicht geschweißte und 0,5 für geschweißte Bauteile die übliche Praxisempfehlung nach FKM-Richtlinie. Zwei gebräuchliche Quellen liegen dabei nebeneinander: Die allgemeine Praxisregel für die relative Miner-Regel (Nennspannungskonzept) nennt D_zul ≈ 0,5 … 1,0, während der FKM-Wert D_m = 0,3 (nicht geschweißt) strenger und konservativer ist. Der FKM-Wert ist keine einfache zulässige Schadenssumme, sondern über eine eigene Umrechnung bestimmt.
Muss ich Amplituden oder Schwingbreiten eingeben?
Alle Spannungen in diesem Rechner sind Amplituden σ_a, keine Schwingbreiten Δσ = 2·σ_a. Die Verwechslung ist die häufigste Fehlerquelle: Ein Faktor 2 in der Spannung wird bei k = 5 zu einem Faktor 32 in der Schwingspielzahl.
Wie geht die Mittelspannung in die Rechnung ein?
Gar nicht - das ist eine bewusste Modellgrenze. Wöhlerlinie und Kollektiv müssen zum selben Spannungsverhältnis R bzw. zur selben Mittelspannung gehören. Weicht das Kollektiv ab, sind die Amplituden vorher zu transformieren (z. B. über die Mittelspannungsempfindlichkeit).
Kann ich die Wöhlerlinie einer polierten Probe verwenden?
Nein, benötigt wird die Bauteil-Wöhlerlinie einschließlich aller Einflüsse aus Kerbwirkung, Größe und Oberfläche. Mit einer Proben-Wöhlerlinie wird die Lebensdauer massiv überschätzt. Ohne Versuchsdaten sind k = 5 und N_D = 10⁶ übliche Richtwerte für nicht geschweißte, gekerbte Stahlbauteile.
Wie genau ist die Lebensdauerabschätzung nach Miner?
Die Methode liefert Größenordnungen, keine Punktlandungen: Reale Schadenssummen streuen etwa zwischen 0,2 und 6. Reihenfolgeeffekte wie Eigenspannungsumlagerung durch Überlasten erfasst die lineare Hypothese prinzipbedingt nicht. Für abgesicherte Aussagen bleibt der Betriebsfestigkeitsversuch maßgebend.
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