Toleranzkette mit Monte-Carlo-Simulation
Berechnen Sie das Schließmaß einer linearen Maßkette nach drei Methoden: arithmetisch als garantierter Worst Case, statistisch über die quadratische Addition und numerisch per Monte-Carlo-Simulation mit frei wählbaren Verteilungen, ppm-Auswertung und Beitragsanalyse je Glied.
Kettenglieder
| Bezeichnung | Nennmaß (mm) | Unteres Abmaß | Oberes Abmaß | Richtung | Verteilung | |
|---|---|---|---|---|---|---|
Formeln und Grundlagen
Das Schließmaß s einer linearen Maßkette ist die vorzeichenbehaftete Summe der Einzelglieder: s = Σ aᵢ·xᵢ mit dem Richtungsfaktor aᵢ = +1 für Glieder, die das Schließmaß vergrößern, und aᵢ = −1 für Glieder, die es verkleinern. Bei Gliedern mit negativer Zählrichtung tauschen unteres und oberes Abmaß die Rollen und wechseln das Vorzeichen – der häufigste Fehler bei Handrechnungen. Aus jedem Glied folgen die Toleranzbreite Tᵢ = Aoᵢ − Auᵢ und das Mittenmaß Cᵢ.
Die arithmetische Rechnung (Worst Case) unterstellt, dass alle Glieder gleichzeitig an der ungünstigsten Toleranzgrenze liegen. Die Abmaße in Zählrichtung werden aufsummiert, die Schließtoleranz ist die Summe aller Einzeltoleranzen: Tₐ = Σ Tᵢ. Das Ergebnis liefert garantierte Grenzmaße und damit absolute Austauschbarkeit, wird aber mit wachsender Gliederzahl schnell unwirtschaftlich eng für die Einzeltoleranzen.
Die statistische Rechnung nutzt aus, dass sich zufällige Abweichungen unkorrelierter Glieder teilweise ausgleichen: Die Varianzen addieren sich, σs² = Σ σᵢ². Die Standardabweichung je Glied folgt aus Toleranzbreite und Verteilungstyp: Normalverteilung mit ±3σ-Deckung σ = T/6, Rechteckverteilung σ = T/√12, symmetrische Dreieckverteilung σ = T/√24. Die statistische Schließtoleranz ist Tₛ = k·σs; mit k = 6 entspricht sie einer Überdeckung von 99,73 %. Sind alle Glieder normalverteilt, kollabiert die Rechnung zur bekannten Wurzelformel Tₛ = √(Σ Tᵢ²). Der Reduktionsfaktor r = Tₛ/Tₐ zeigt den Gewinn; bei n gleichen Toleranzen gilt r = 1/√n.
Die Monte-Carlo-Simulation zieht für jedes Glied Zufallswerte gemäß seiner Verteilung, wertet die Kette vielfach aus und liefert Mittelwert, Standardabweichung, Quantile und ein Histogramm des Schließmaßes. Sind Spezifikationsgrenzen gesetzt, wird der Anteil außerhalb direkt gezählt und in ppm angegeben – inklusive Unsicherheitsband, denn die Auflösung der Simulation beträgt 1/n. Der Rechner nutzt einen deterministischen Zufallszahlengenerator (mulberry32) mit einstellbarem Seed, sodass gleiche Eingaben stets identische Ergebnisse liefern.
Die Beitragsanalyse zeigt, welches Glied die Streuung des Schließmaßes dominiert: analytisch als Varianzanteil σᵢ²/σs², aus der Simulation als quadrierter Korrelationskoeffizient zwischen Glied und Schließmaß. Bei linearen Ketten stimmen beide Werte überein. Wer die Schließtoleranz verkleinern muss, zieht zuerst das Glied mit dem größten Beitrag enger – Maßnahmen an Gliedern mit kleinem Beitrag verpuffen.
Rechenbeispiel
Fünfgliedrige Getriebewellen-Kette: Ein Innenmaß von 44,8 ± 0,02 steht gegen vier abzuziehende Glieder mit 23,8 (−0,02/0), 3,5 (±0,01) sowie zweimal 8,7 (0/+0,02). Das Nennschließmaß beträgt 0,1 mm mit den Abmaßen −0,07/+0,05 in Zählrichtung, also Grenzmaßen von 0,03 bis 0,15 mm und einer arithmetischen Schließtoleranz von 0,12 mm.
Statistisch ergibt sich bei Normalverteilung aller Glieder Tₛ = √(0,04² + 4·0,02²) = 0,0566 mm – der statistische Bereich reicht nur noch von 0,0617 bis 0,1183 mm. Der Reduktionsfaktor 0,47 bedeutet: Die statistisch zu erwartende Schließtoleranz ist weniger als halb so groß wie im Worst Case. Die Monte-Carlo-Gegenprobe bestätigt das Ergebnis mit Mittelwert 0,090 mm und σ = 0,0094 mm. Umgekehrt gelesen dürfen die Einzeltoleranzen bei statistischer Betrachtung deutlich gröber ausfallen – das ist das Kostenargument der statistischen Tolerierung.
Häufige Fragen
Wann darf ich statistisch statt arithmetisch tolerieren?
Wenn die Glieder unkorreliert sind (keine gemeinsame Aufspannung oder Werkzeugbindung), die Kette linear ist, mindestens etwa vier Glieder umfasst, kein Glied die Streuung dominiert und die Verteilungen näherungsweise bekannt und symmetrisch sind. Der Rechner prüft Gliederzahl und Dominanz automatisch und warnt bei verletzten Voraussetzungen – gerechnet wird trotzdem, die Bewertung liegt beim Anwender.
Welche Verteilung wähle ich für ein Kettenglied?
Normalverteilung (T = ±3σ) für spanende Bearbeitung ohne systematische Einflüsse, Rechteckverteilung für werkzeuggebundene Maße mit Drift wie Spritzguss, Stanzen oder Werkzeugverschleiß, Dreieckverteilung als Zwischenform, etwa bei regelmäßigen Werkzeugkorrekturen. Wer die Fertigungsverteilung nicht kennt, fährt mit der Rechteckverteilung auf der sicheren Seite, denn sie streut am stärksten (σ = T/√12).
Warum weicht die Monte-Carlo-ppm von der analytischen ppm ab?
Die analytische ppm-Abschätzung unterstellt ein exakt normalverteiltes Schließmaß. Enthält die Kette Rechteck- oder Dreieckglieder, hat die reale Schließverteilung hart begrenzte, dünnere Ausläufer – die Simulation zählt dann weniger Überschreitungen, als die Normal-Approximation vorhersagt. Genau diese Differenz kann über die Wirtschaftlichkeit einer Toleranzvergabe entscheiden.
Wie viele Simulationsläufe brauche ich für eine belastbare ppm-Aussage?
Die Auflösung der Simulation beträgt 1/n: Mit 100 000 Läufen lassen sich Anteile bis etwa 10 ppm auflösen, für Aussagen im 1-ppm-Bereich braucht es mindestens eine Million Läufe. Der Rechner gibt deshalb zur gezählten ppm ein Unsicherheitsband aus der Binomialstatistik mit an – eine ppm-Angabe feiner als die Auflösung wäre unseriös.
Warum liefert der Rechner bei gleichen Eingaben immer dasselbe Ergebnis?
Die Simulation nutzt einen deterministischen Pseudozufallszahlengenerator mit festem Start-Seed. Das macht Ergebnisse reproduzierbar und nachvollziehbar, etwa für Prüfberichte. Über das Würfel-Symbol lässt sich ein neuer Seed ziehen, um die Stabilität der Ergebnisse gegen andere Zufallsfolgen zu prüfen.
Was ist aus DIN 7186 geworden?
DIN 7186 Blatt 1 (statistische Tolerierung, 1974) wurde ersatzlos zurückgezogen, Blatt 2 blieb Entwurf. Die zugrunde liegende Mathematik – Fehlerfortpflanzung, zentraler Grenzwertsatz, Monte-Carlo-Methode – ist normfreies Standardwissen und lebt in Lehrbüchern und Firmenrichtlinien wie der Bosch-Schriftenreihe zur statistischen Tolerierung weiter. Für die Rechnung selbst wird keine Norm benötigt.