Zustandsänderungen (ideales Gas)
Berechnen Sie Zustandsänderungen idealer Gase: aus dem Ausgangszustand (Druck, Temperatur, Masse) und genau einer Zielgröße folgen der Endzustand sowie Volumenänderungsarbeit, Wärme, Änderung der inneren Energie und Entropieänderung. Isotherm, isobar, isochor, adiabat und polytrop stehen zur Wahl, das Ergebnis erscheint live samt p-V-Diagramm.
Zustandsänderungs-Rechner (ideales Gas)
Modell: ideales Gas mit p·V = m·R_s·T und temperaturunabhängigen Wärmekapazitäten; reversible, quasistatische Zustandsänderung. Reibungs- und Strömungsverluste sowie Realgaseffekte nahe der Verflüssigung sind nicht berücksichtigt. Dimensionierungs- und Lernwerkzeug für die technische Thermodynamik.
Ergebnisse
Berechnung läuft …
Formeln und Grundlagen
Grundlage ist die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases p·V = m·R_s·T mit der spezifischen Gaskonstante R_s (für Luft 287 J/(kg·K)). Eine reversible Zustandsänderung folgt der Beziehung p·Vᵐ = const mit dem Prozessexponenten m: isotherm m = 1 (T = const), isobar m = 0 (p = const), adiabat m = κ (Q = 0) und polytrop m = n. Die isochore Änderung (V = const) ist der Grenzfall m → ∞. Aus dem Exponenten und einer Zielgröße für Zustand 2 ergeben sich Enddruck, Endvolumen und Endtemperatur direkt: T₂/T₁ = (V₁/V₂)^(m−1) und p₂/p₁ = (V₁/V₂)^m.
Die Volumenänderungsarbeit ist das Integral W₁₂ = −∫ p dV. Für die isotherme Änderung folgt daraus W₁₂ = −m·R_s·T·ln(V₂/V₁), für die polytrope W₁₂ = m·R_s·(T₂−T₁)/(n−1); bei der isobaren Änderung ist W₁₂ = −p·(V₂−V₁), bei der isochoren ist W₁₂ = 0. Vorzeichenkonvention hier: dem Gas zugeführte Arbeit ist positiv, Kompression liefert also W > 0.
Die Änderung der inneren Energie hängt beim idealen Gas nur von der Temperatur ab, ΔU = m·c_v·(T₂−T₁). Der 1. Hauptsatz verknüpft die Größen als ΔU = Q + W, woraus die ausgetauschte Wärme Q₁₂ folgt (adiabat Q = 0, isochor Q = ΔU, isobar Q = m·c_p·(T₂−T₁)). Die Entropieänderung ist ΔS = m·[c_v·ln(T₂/T₁) + R_s·ln(V₂/V₁)]. Der Isentropenexponent κ = c_p/c_v beträgt für zweiatomige Gase wie Luft etwa 1,4.
Rechenbeispiel
Ein Kilogramm Luft (R_s = 287 J/(kg·K)) mit Anfangsdruck 1 bar und 300 K wird isotherm auf das halbe Volumen verdichtet. Da die Temperatur konstant bleibt, verdoppelt sich der Druck auf 2 bar und die innere Energie ändert sich nicht.
Die zugeführte Volumenänderungsarbeit beträgt W₁₂ = −m·R_s·T·ln(V₂/V₁) = −1·287·300·ln(0,5) = 59,68 kJ. Weil ΔU = 0 ist, muss nach dem 1. Hauptsatz genau diese Energie als Wärme abgeführt werden: Q₁₂ = −59,68 kJ.
Wird stattdessen adiabat (ohne Wärmeaustausch) auf das halbe Volumen verdichtet, steigt die Temperatur um den Faktor T₂/T₁ = (V₁/V₂)^(κ−1) = 2^0,4 = 1,320, also auf rund 396 K. Die gesamte zugeführte Arbeit erhöht hier die innere Energie, weil keine Wärme entweicht – das ist das Prinzip der Kompressionserwärmung.
Häufige Fragen
Welche Zielgröße darf ich bei welcher Art vorgeben?
Genau eine Zielgröße legt Zustand 2 fest. Bei der isothermen Änderung ist die Temperatur bereits festgelegt (T₂ = T₁), also ist T₂ keine gültige Vorgabe. Bei der isobaren Änderung ist der Druck fest (p₂ = p₁), also kein p₂. Bei der isochoren Änderung ist das Volumen fest, also weder V₂ noch ein Volumenverhältnis; hier geben Sie Enddruck oder Endtemperatur vor.
Was bedeutet das Vorzeichen von Arbeit und Wärme?
Hier gilt die Konvention, dass dem Gas zugeführte Energie positiv zählt. Eine Kompression liefert deshalb eine positive Arbeit W, eine Expansion eine negative. Abgeführte Wärme ist negativ. Der 1. Hauptsatz lautet damit ΔU = Q + W.
Worin unterscheiden sich adiabat und polytrop?
Die adiabate Änderung tauscht keine Wärme mit der Umgebung aus (Q = 0) und folgt p·Vᵏ = const mit dem Isentropenexponenten κ. Die polytrope Änderung ist die Verallgemeinerung mit einem frei wählbaren Exponenten n und beschreibt reale Prozesse mit teilweisem Wärmeaustausch zwischen den Grenzfällen isotherm (n = 1) und adiabat (n = κ).
Woher kommt der Wert κ = 1,4 für Luft?
κ ist das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten c_p/c_v. Für zweiatomige Gase wie Stickstoff und Sauerstoff, aus denen Luft überwiegend besteht, ergibt sich aus der kinetischen Gastheorie κ ≈ 1,4. Der Wert ist im Rechner einstellbar, indem Sie c_p und c_v anpassen.
Gilt die Rechnung für reale Gase?
Das Modell ist das ideale Gas mit temperaturunabhängigen Wärmekapazitäten und reversibler, quasistatischer Zustandsänderung. Für Luft und technische Gase bei moderaten Drücken und weit vom Kondensationspunkt entfernt ist das eine gute Näherung. Nahe der Verflüssigung, bei sehr hohen Drücken oder mit Reibungs- und Strömungsverlusten weichen reale Prozesse ab.
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