Einmassenschwinger berechnen
Berechnen Sie die Kennwerte eines Feder-Masse-Dämpfers mit einem Freiheitsgrad: Eigenkreisfrequenz und Eigenfrequenz, Lehrsches Dämpfungsmaß und gedämpfte Frequenz sowie die Vergrößerungsfunktion und Resonanzlage bei harmonischer Krafterregung. Masse, Steifigkeit und Dämpfung eingeben, optional Erregerfrequenz und Kraftamplitude – der Rechner liefert alle Größen live mit jeder Eingabe.
Rechner für den Einmassenschwinger
Modell: linearer Einmassenschwinger (ein Freiheitsgrad) mit konstanter Masse, linearer Feder und geschwindigkeitsproportionaler (viskoser) Dämpfung, kleine Auslenkungen. Nichtlineare Kennlinien, trockene Reibung, mehrere Freiheitsgrade und Tilger sind nicht erfasst. Kennwertrechner nach der linearen Schwingungstheorie (Gross/Hauger/Schröder/Wall, Technische Mechanik 3, Kapitel 5).
Ergebnisse
Berechnung läuft …
Formeln und Grundlagen
Der Einmassenschwinger wird durch die Bewegungsgleichung m·x″ + d·x′ + c·x = F(t) beschrieben. Ohne Dämpfung und Erregung schwingt er mit der Eigenkreisfrequenz ω₀ = √(c/m); die zugehörige Eigenfrequenz ist f₀ = ω₀/(2·π). Die Eigenfrequenz hängt nur vom Verhältnis aus Steifigkeit und Masse ab: eine steifere Feder erhöht sie, eine größere Masse senkt sie. Die statische Auslenkung unter einer konstanten Kraft F₀ ist x_stat = F₀/c.
Die Dämpfung wird über das Lehrsche Dämpfungsmaß D = d/(2·√(c·m)) = δ/ω₀ mit dem Abklingkoeffizienten δ = d/(2·m) beschrieben. Der Nenner d_krit = 2·√(c·m) ist die kritische (aperiodische) Dämpfung: Bei D < 1 schwingt das System abklingend (Schwingfall) mit der gedämpften Kreisfrequenz ω_d = ω₀·√(1−D²) und f_d = ω_d/(2·π); bei D = 1 liegt der aperiodische Grenzfall vor, bei D > 1 kriecht das System ohne Schwingung in die Ruhelage zurück. Da D² meist klein ist, liegt die gedämpfte Frequenz nur wenig unter der ungedämpften.
Bei harmonischer Krafterregung F₀·cos(Ω·t) stellt sich eine erzwungene Schwingung mit der Erregerkreisfrequenz Ω ein. Mit dem Frequenzverhältnis η = Ω/ω₀ ist die Amplitude x₀ = x_stat·V(η) mit der Vergrößerungsfunktion V(η) = 1/√((1−η²)² + (2·D·η)²). Für D < 1/√2 ≈ 0,707 hat V ein Maximum an der Stelle η_res = √(1−2·D²) mit dem Höchstwert V_max = 1/(2·D·√(1−D²)); das Resonanzmaximum liegt also knapp unterhalb von η = 1 und nicht exakt bei der Eigenfrequenz. Die Phasenverschiebung zwischen Erregung und Ausschlag beträgt tan φ = 2·D·η/(1−η²) und ist bei η = 1 stets 90°.
Rechenbeispiel
Eine Masse von 10 kg hängt an einer Feder mit der Steifigkeit c = 10 000 N/m und wird über einen Dämpfer mit d = 40 Ns/m gedämpft. Die Eigenkreisfrequenz ist ω₀ = √(10000/10) = 31,62 rad/s, also f₀ = 5,03 Hz. Die kritische Dämpfung beträgt d_krit = 2·√(10000·10) = 632,5 Ns/m, damit ist das Dämpfungsmaß D = 40/632,5 = 0,0632 – ein schwach gedämpfter Schwingfall.
Die gedämpfte Eigenfrequenz f_d = 5,03·√(1−0,0632²) = 5,02 Hz liegt nur unwesentlich darunter. Wird das System exakt in seiner Eigenfrequenz mit F₀ = 100 N angeregt (η = 1), so ist die Vergrößerung V = 1/(2·D) = 7,91: die statische Auslenkung x_stat = 100/10000 = 10 mm wächst auf rund 79 mm an. Das Resonanzmaximum selbst liegt bei η_res = √(1−2·0,0632²) = 0,996 mit V_max ≈ 7,92. Ohne ausreichende Dämpfung würde die Amplitude in Resonanznähe gefährlich groß.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen ungedämpfter und gedämpfter Eigenfrequenz?
Die ungedämpfte Eigenfrequenz f₀ = ω₀/(2π) mit ω₀ = √(c/m) ergibt sich allein aus Steifigkeit und Masse. Die gedämpfte Eigenfrequenz f_d = f₀·√(1−D²) berücksichtigt zusätzlich die Dämpfung und ist immer kleiner. Bei schwacher Dämpfung (D klein) sind beide praktisch gleich; erst bei starker Dämpfung wird der Unterschied spürbar.
Was bedeutet das Lehrsche Dämpfungsmaß D?
D = d/(2·√(c·m)) setzt die vorhandene Dämpfung ins Verhältnis zur kritischen Dämpfung d_krit = 2·√(c·m). D < 1 ist der Schwingfall (das System schwingt abklingend), D = 1 der aperiodische Grenzfall (schnellste Rückkehr ohne Überschwingen, z. B. bei Messgeräten), D > 1 der Kriechfall (langsame Rückkehr ohne Schwingung). Die Formeln für D, ω_d und die kritische Dämpfung d = 2·√(m·c) sind bei Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 3 (Kinetik), Kapitel 5 Schwingungen, Abschnitt 5.2.3, Gleichungen (5.31), (5.36) und (5.40) hergeleitet.
Wo liegt die Resonanz – bei η = 1 oder daneben?
Bei der Vergrößerungsfunktion der Krafterregung liegt das Maximum nicht exakt bei η = 1, sondern bei η_res = √(1−2·D²) und damit knapp darunter. Der Höchstwert ist V_max = 1/(2·D·√(1−D²)). Ein Maximum existiert nur für D < 1/√2 ≈ 0,707; bei stärkerer Dämpfung fällt die Kurve von V(0) = 1 monoton ab. Diese Zusammenhänge und die Vergrößerungsfunktion V = 1/√((1−η²)²+(2Dη)²) stehen bei Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 3, Abschnitt 5.3.2, Gleichungen (5.61) und (5.62) sowie Abbildung 5.23a.
Warum ist die Vergrößerung bei η = 1 gerade 1/(2D)?
Setzt man η = 1 in V(η) = 1/√((1−η²)²+(2·D·η)²) ein, verschwindet der erste Term und es bleibt V(1) = 1/(2·D). Bei kleiner Dämpfung wird dieser Wert sehr groß – bei D = 0,05 immerhin das Zehnfache der statischen Auslenkung. Deshalb sollte man mit der Erregerfrequenz genügend Abstand zur Eigenfrequenz halten oder ausreichend dämpfen.
Wie hängen Steifigkeit, Masse und Eigenfrequenz zusammen?
Die Eigenfrequenz steigt mit der Wurzel der Steifigkeit und sinkt mit der Wurzel der Masse: f₀ ∝ √(c/m). Um die Eigenfrequenz zu verdoppeln, muss man die Steifigkeit vervierfachen oder die Masse vierteln. Das ist der zentrale Hebel bei der Schwingungsabstimmung, etwa um Resonanzen mit bekannten Erregerfrequenzen zu vermeiden.
Für welche Systeme gilt diese Rechnung?
Für lineare Schwinger mit einem Freiheitsgrad und konstanten Parametern m, c und d unter kleiner Auslenkung. Nichtlineare Federkennlinien, trockene (Coulombsche) Reibung, mehrere Freiheitsgrade oder veränderliche Massen werden nicht erfasst. Für Systeme mit zwei Freiheitsgraden oder Tilger sind die entsprechenden erweiterten Modelle nötig.
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