Kritische Drehzahl einer Welle
Berechnen Sie die biegekritische Drehzahl einer gestuften Welle auf zwei gelenkigen Lagern mit beliebigen Punktmassen und Wellen-Eigengewicht. Der Rechner liefert die Biegelinie, die kritische Drehzahl als Band zwischen Dunkerley (untere Schranke) und Rayleigh (obere Schranke) und bewertet den Sicherheitsabstand zur Betriebsdrehzahl, live mit jeder Eingabe.
Berechnung
Modell: gestufte Vollwelle auf zwei gelenkigen, starren Lagern an den Wellenenden; keine Dämpfung, keine Kreiselwirkung. Reale Lager- und Gehäusenachgiebigkeit senkt die kritische Drehzahl. Berechnet wird ausschließlich die biegekritische Drehzahl (Anregung durch Unwucht), nicht die torsionskritische. Beim Hochfahren über die Resonanz muss diese zügig durchfahren werden.
Ergebnisse
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Formeln und Grundlagen
Modell und Biegelinie
Das Modell ist eine gerade, gestufte Vollwelle auf zwei gelenkigen, starren Lagern an den Wellenenden, dazwischen beliebig viele Punktmassen (Scheiben, Naben, Kupplungen). Die Biegelinie unter den Gewichtskräften wird numerisch bestimmt: Aus dem Momentenverlauf M(x) folgt die Krümmung, die zweifach integriert wird:
Die Randbedingung w = 0 an beiden Lagern liefert die Integrationskonstante. Sprünge der Biegesteifigkeit an den Wellenabsätzen werden dabei exakt abgebildet. Ergebnis sind die maximale Durchbiegung, die Neigungen an den Lagern und die Werte an jedem Massensitz.
Rayleigh-Quotient
Der Rayleigh-Quotient setzt die maximale Formänderungsenergie der Biegung gleich der maximalen kinetischen Energie der Schwingung. Als Ansatzfunktion dient die statische Biegelinie unter den Gewichtskräften aller Massen und des Eigengewichts:
Das Ergebnis liegt immer über der wahren ersten Eigenfrequenz; mit der Gewichtsbiegelinie als Ansatz bleibt der Fehler typischerweise unter ein bis zwei Prozent. Für die Einzelmasse auf masseloser Welle folgt daraus die bekannte Zahlenwertgleichung n_k ≈ 946/√f mit der statischen Einsenkung f in mm.
Dunkerley-Formel
Die Dunkerley-Formel summiert die Nachgiebigkeiten der Teilsysteme:
Dabei ist ω_i die kritische Kreisfrequenz der masselosen Welle mit nur der Masse i (aus der Einflusszahl δ_ii) und ω_W die der Welle allein unter Eigengewicht. Das Ergebnis liegt immer unter der wahren ersten Eigenfrequenz und ist damit für die unterkritische Auslegung konservativ. Der wahre Wert liegt im Band zwischen Dunkerley und Rayleigh; zusätzlich löst der Rechner das Eigenwertproblem der Punktmassen exakt und gibt ab zwei Massen auch die zweite kritische Drehzahl aus. Die Ampel bewertet den Sicherheitsabstand: unterkritisch grün bis 0,8·n_k1 und gelb bis 0,9·n_k1 (jeweils gegen die konservative Dunkerley-Schranke), überkritischer Betrieb ab 1,25·n_k1 nach Rayleigh. Überkritisch gilt Grün nur bis 0,8·n_k2: Ab zwei Punktmassen kennt der Rechner die zweite kritische Drehzahl n_k2 (exakt), und eine Betriebsdrehzahl darüber steht auf Rot, weil sie sich der nächsten Resonanz nähert. Dieses n_k2 gilt für die Punktmassen auf masseloser Welle. Mit Eigengewicht fehlt darin die Masse der Welle, und weil zusätzliche Masse jede Eigenfrequenz senkt, liegt die Schwelle dann zu hoch, also auf der unsicheren Seite.
Rechenbeispiel
Eine Stahlwelle mit 800 mm Stützweite besteht aus drei Segmenten: 200 mm mit Ø 40 mm, 400 mm mit Ø 60 mm und 200 mm mit Ø 45 mm. Bei x = 300 mm sitzt eine Scheibe mit 20 kg, bei x = 550 mm eine mit 15 kg. Das Eigengewicht der Welle wird mitgerechnet, die Betriebsdrehzahl beträgt 3000 1/min.
Die statische Rechnung liefert eine maximale Durchbiegung von 45,6 µm. Die erste kritische Drehzahl liegt zwischen 4533 1/min (Dunkerley) und 4650 1/min (Rayleigh). Die exakte Lösung des Punktmassen-Systems ergibt 5298 1/min; sie liegt über diesem Band, weil sie die Welle als masselos rechnet. Die Betriebsdrehzahl von 3000 1/min bleibt unter 0,8·4533 ≈ 3626 1/min, der Sicherheitsabstand ist eingehalten und die Ampel steht auf Grün.
Häufige Fragen
Was ist die biegekritische Drehzahl?
Die Drehzahl, bei der die Drehfrequenz der Welle mit ihrer ersten Biegeeigenfrequenz zusammenfällt. Die mitrotierende Fliehkraft aus der Restunwucht regt die Welle dann in Resonanz an, die Amplituden wachsen stark an. Betriebsdrehzahlen sollten ausreichend Abstand dazu halten.
Worin unterscheiden sich Rayleigh und Dunkerley?
Der Rayleigh-Quotient liefert eine obere Schranke der ersten Eigenfrequenz, die Dunkerley-Formel eine untere. Zusammen grenzen beide Verfahren die tatsächliche kritische Drehzahl ein. Für die unterkritische Auslegung ist der Dunkerley-Wert maßgebend, weil er konservativ ist.
Wie groß sollte der Sicherheitsabstand zur kritischen Drehzahl sein?
In der Praxis sind ±20 bis 25 Prozent üblich, als Minimum gelten etwa 15 Prozent. Turbomaschinen-Regelwerke staffeln den geforderten Abstand nach der Dämpfung bis etwa 26 Prozent. Der Rechner wertet unterkritisch bis 0,8·n_k1 Dunkerley als grün und bis 0,9·n_k1 Dunkerley als gelb; überkritischer Betrieb gilt ab 1,25·n_k1 Rayleigh als ausreichend entfernt. Ab zwei Punktmassen gilt überkritisch Grün außerdem nur bis 0,8·n_k2, der zweiten kritischen Drehzahl; darüber steht die Ampel auf Rot. Dieses n_k2 rechnet die Welle als masselos; mit Eigengewicht liegt die Schwelle deshalb zu hoch, also auf der unsicheren Seite.
Gilt die Berechnung auch für vertikale Wellen?
Ja. Die kritische Drehzahl ist von der Einbaulage unabhängig, weil die Gewichtsbiegelinie nur als Ansatzfunktion für den Energieansatz dient. Der verbreitete Fehlschluss, eine vertikale Welle habe keine Durchbiegung und deshalb keine kritische Drehzahl, ist falsch.
Warum liegt die reale kritische Drehzahl oft unter dem Rechenwert?
Das Modell nimmt starre Lager an. Reale Wälzlager und Gehäuse sind nachgiebig, was die kritische Drehzahl senkt. Auch vernachlässigt das Modell die Kreiselwirkung der Scheiben, die insbesondere bei überhängenden großen Scheiben deutlich eingreifen kann. Der berechnete Wert sollte daher nie knapp ausgenutzt werden.
Rechnet das Tool auch torsionskritische Drehzahlen?
Nein. Hier wird ausschließlich die biegekritische Drehzahl berechnet, die durch Unwucht angeregt wird. Torsionskritische Drehzahlen betreffen Drehschwingungen aus Drehmomentschwankungen (Zahneingriff, Kolbenmaschinen, Umrichter) und erfordern eine eigene Rechnung mit Drehmassen und Torsionssteifigkeiten.
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