Hertzsche Pressung berechnen

Beim Punktkontakt (Kugel-Kugel, Kugel-Ebene) berühren sich die Körper zunächst in einem Punkt, unter Last entsteht eine kreisförmige Kontaktfläche mit dem Radius a. Beim Linienkontakt (Zylinder-Zylinder, Zylinder-Ebene) berühren sie sich entlang einer Linie, unter Last entsteht ein Rechteck der Breite 2b über die tragende Länge L. Deshalb wird der Linienkontakt mit der Linienlast F' = F/L gerechnet und die Pressung steigt langsamer mit der Kraft als beim Punktkontakt.

Wählen Sie beim zweiten Körper den Schalter konkav. Der Radius R2 wird dann mit negativem Vorzeichen verrechnet: 1/R = 1/R1 − 1/R2. Der konkave Körper schmiegt sich an, die Kontaktfläche wird größer und die Pressung kleiner. Voraussetzung ist |R2| > R1; bei nahezu gleichen Radien wird die Fläche elliptisch und die einfache Theorie unterschätzt sie - der Rechner warnt in diesem Fall.

Nein. Mit dem negativen Radius ändern sich die Größe der Kontaktfläche und die Höhe der Pressung, nicht die Form der Verteilung: halbelliptisch über der Breite 2b beim Linienkontakt, halbellipsoidisch über der Kreisfläche beim Punktkontakt. Das Diagramm zeigt deshalb in allen Fällen dieselbe Kurvenform, nur mit anderen Achsenwerten. Der Grund liegt in der Halbraumnäherung, auf der die Hertzsche Lösung beruht: Dort geht die Geometrie beider Körper allein über den Spalt ein, also über die Summe der Krümmungen - ein negativer Summand ändert den Wert dieser Summe, nicht die Gestalt der Gleichung. Die Hütte (Das Ingenieurwissen, Bild 5-47) stellt die Verteilung sogar ausgerechnet am konkaven Fall dar, während daneben beim konvexen Fall nur die Druckfläche gezeichnet ist.

Bei Kugel-Kugel und Zylinder-Zylinder mit konvexen Körpern nicht: Der reduzierte Modul 1/E* = (1−ν1²)/E1 + (1−ν2²)/E2 und die Ersatzkrümmung 1/R = 1/R1 + 1/R2 sind beide Summen, das Ergebnis ist nach dem Vertauschen identisch - auch bei ungleichen Werkstoffen. In den Fällen mit Ebene ist Körper 2 immer die Ebene; R2 geht dort gar nicht ein. Und beim konkaven Gegenkörper gehört der konvexe Körper zwingend auf R1, denn dort steht 1/R = 1/R1 − 1/R2. Wer es vertauscht, bekommt keine falsche Zahl, sondern die Meldung, dass |R2| größer als R1 sein muss.

Für beide Körper getrennt: Stahl E = 210 000 N/mm² und ν = 0,3, Grauguss E ≈ 110 000 N/mm² und ν = 0,25, Bronze E ≈ 95 000 N/mm² und ν = 0,35, Aluminium E ≈ 70 000 N/mm² und ν = 0,33. Sie können einen Werkstoff aus der Datenbank wählen, der E und ν übernimmt, oder beide Werte frei eingeben. Die ISO 6336 rechnet Stahl mit 206 000 N/mm²; der Unterschied wirkt sich nur um etwa 1,3 Prozent auf p_max aus.

An der Oberfläche herrscht dreiachsiger Druck, der kein Fließen auslöst. Versagen beginnt mit der Schubspannung im Werkstoffinneren, deren Maximum bei etwa 0,31·p_max (Punkt) beziehungsweise 0,300 bis 0,304·p_max (Linie, je nach Quelle: eigene Numerik 0,3003, Niemann 0,304) in einer Tiefe von 0,48·a beziehungsweise 0,78 bis 0,79·b liegt. Zusätzlich gibt es die Wechselschubspannung τ_yz (0,25·p_max in 0,5·b beim Linienkontakt, 0,215·p_max in 0,35·a beim Punktkontakt, nach Niemann), die beim Überrollen ihr Vorzeichen wechselt, oberflächennäher liegt und als eigentliche Ursache der Grübchenermüdung gilt. Genau dort entstehen bei Wälzbeanspruchung die ersten Anrisse (Pitting). Die Härtetiefe muss deshalb deutlich unter dieser Zone liegen.

Der mit der kleineren zulässigen Pressung - nicht der weichere. Der E-Modul kommt im Nachweis überhaupt nicht vor; über E* senkt er nur die Pressung selbst und hilft damit beiden Körpern. Beide sehen dieselbe Pressung p_max, aber jeder hat sein eigenes zulässiges Niveau aus seiner eigenen Streckgrenze, und maßgeblich ist das kleinere. Meist ist das der Körper mit der kleineren Streckgrenze; weil der Umrechnungsfaktor beim Punktkontakt von der Querkontraktionszahl abhängt, kann es in Ausnahmefällen der andere sein. Der Rechner vergleicht deshalb die zulässigen Pressungen und schreibt darunter, von welchem Körper der maßgebliche Wert stammt. Zwei Grenzen: Bei einem spröden Partner (Keramik, Glas, Grauguss) greift dieser Nachweis nicht, dort versagt die Zugspannung am Rand der Kontaktfläche zuerst. Und bei einsatzgehärteten Teilen zählt die Festigkeit in der Tiefe der maximalen Schubspannung, nicht die Oberflächenhärte.

Die Streckgrenze der Normwerkstoffe hängt vom Erzeugnismaß ab: Dickere Teile erreichen kleinere Werte, weil sie beim Vergüten langsamer durchhärten. C45E steht bei kleinen Abmessungen mit 490 N/mm² in der Tabelle und fällt darunter, sobald das Teil dicker wird. Tragen Sie das maßgebende Maß Ihres Bauteils ein, dann nimmt der Rechner die passende Stufe. Bleibt das Feld leer, gilt die kleinste Stufe und damit der höchste Wert des Werkstoffs - bei dicken Teilen ist das die unsichere Seite. Liegt die Angabe jenseits der Normtabelle, sagt der Rechner das, statt den letzten Wert stillschweigend fortzuschreiben.

Das hängt vom Anwendungsfall ab. Für duktilen Stahl unter ruhender Last gilt der Fließbeginn bei 1,67·Rp0,2 (Linie) beziehungsweise 1,61·Rp0,2 (Punkt). Gehärtete Wälzpaarungen ertragen statisch 4000 bis 4600 N/mm² (Niveau der statischen Tragzahl C0 mit kleiner bleibender Verformung), im Dauerbetrieb aber nur etwa 1500 N/mm². Für Schneckenrad-Bronzen oder Grauguss gelten eigene Werte. Der Rechner bietet diese Richtwerte mit Kontext und Quelle zur Auswahl an und zeigt nur die, die zur berechneten Kontaktart passen - ein Wert aus dem Kugellagerbau steht damit nicht mehr neben einem Linienkontakt. Widerspricht ein gewählter Richtwert den Werkstoffen oben, etwa eine gehärtete Wälzpaarung neben POM, weist der Rechner darauf hin, statt den Nachweis stillschweigend grün zu färben. Mischen Sie die Kontexte nicht.

Die Hertz-Theorie setzt homogene, linear-elastische Werkstoffe und den Halbraum voraus: Die Kontaktabmessungen müssen klein gegen die Krümmungsradien sein (a, b « R). Reibung, Tangentialkräfte, Schmierfilm und Eigenspannungen sind nicht erfasst, ebenso keine Kantenüberhöhung an Rollenenden (deshalb werden Rollen bombiert). Allgemein gekrümmte Körper mit elliptischer Kontaktfläche (Kugel in Rille, gekreuzte Zylinder) erfordern die elliptische Theorie mit Beiwerten. Bei sehr weichen Werkstoffen wie Kunststoff sind die Werte wegen Viskoelastizität nur Anhaltswerte.