Hertzsche Pressung berechnen
Berechnen Sie die Kontaktspannung zweier gekrümmter Körper nach der Hertzschen Theorie. Aus Kontaktfall, Radien, Kraft und den Werkstoffkennwerten E und ν beider Körper folgen die maximale Pressung p_max, die mittlere Pressung, die Größe der Kontaktfläche (Kontaktradius a beim Punkt-, halbe Druckflächenbreite b beim Linienkontakt), die Annäherung der Körper sowie die maximale Schubspannung unter der Oberfläche mit ihrer Tiefe. Vier Standardfälle (Kugel–Kugel, Kugel–Ebene, Zylinder–Zylinder, Zylinder–Ebene) lassen sich je Gegenkörper auf konkav umschalten (Hohlkugel, Lagerschale). Ein optionaler Nachweis vergleicht p_max mit einer wählbaren zulässigen Pressung.
Hertzsche Pressung – Punkt- und Linienkontakt
Modell: homogene, linear-elastische Körper, reibungsfreier Normalkontakt, Halbraumannahme (a, b « R). Reibung, Tangentialkraft, Schmierfilm und Kanteneffekte sind nicht erfasst; die Annäherung δ beim Linienkontakt ist eine Näherung für Stahl/Stahl. Allgemein gekrümmte Körper mit elliptischer Kontaktfläche sind nicht abgebildet.
Ergebnisse
Berechnung läuft …
Formeln und Grundlagen
Beide Körper sind elastisch und federn, ihre Nachgiebigkeiten addieren sich zum reduzierten E-Modul E* über 1/E* = (1 − ν1²)/E1 + (1 − ν2²)/E2. Für Stahl auf Stahl (E = 210 000 N/mm², ν = 0,3) ergibt sich E* = 115 385 N/mm². In der Literatur kursieren drei Schreibweisen des reduzierten Moduls, die sich um den Faktor 2 unterscheiden; der Rechner verwendet durchgängig die E*-Konvention nach Johnson, damit die Ergebnisse eindeutig sind.
Die Krümmungen der beiden Körper addieren sich zu einem Ersatzradius R über 1/R = 1/R1 + 1/R2. Berührt der Körper eine Ebene, entfällt der zweite Term (R = R1). Ist der Gegenkörper konkav, also hohl (Kalotte, Lagerschale), schmiegt er sich an und der Radius geht mit negativem Vorzeichen ein: 1/R = 1/R1 − 1/|R2|. Je besser die Schmiegung, desto größer R, desto größer die Kontaktfläche und desto kleiner die Pressung – das ist der Konstruktionshebel bei Rillenkugellagern und Gelenkpfannen. Für |R2| = R1 wird R unendlich (flächige Anlage), die Hertz-Theorie gilt dann nicht mehr.
Beim Punktkontakt ist die Kontaktfläche ein Kreis mit dem Radius a = (3·F·R/(4·E*))^(1/3). Die Pressung verteilt sich halbkugelförmig mit dem Maximum p_max = 3·F/(2·π·a²) in der Mitte; die mittlere Pressung beträgt zwei Drittel davon. Die Annäherung der Körper ist δ = a²/R. Beim Linienkontakt wird mit der Linienlast F' = F/L gerechnet: Die halbe Druckflächenbreite ist b = √(4·F'·R/(π·E*)), die maximale Pressung p_max = 2·F'/(π·b) = √(F'·E'/(π·R)), die mittlere Pressung π/4 davon. Merkregel: Beim Punktkontakt wächst p_max nur mit der dritten Wurzel der Kraft (doppelte Kraft, +26 %), beim Linienkontakt mit der Quadratwurzel (+41 %).
Versagensrelevant ist nicht die Oberflächenpressung, sondern die Schubspannung im Werkstoffinneren. Aus dem Tiefenverlauf der Hauptspannungen folgt für ν = 0,3 die maximale Schubspannung τ_max ≈ 0,31·p_max in der Tiefe z ≈ 0,48·a beim Punkt- und τ_max ≈ 0,30·p_max in z ≈ 0,79·b beim Linienkontakt. Diese Tiefe ist der Bezug für die erforderliche Randschichthärtung. Der statische Nachweis (Beginn des Fließens unter der Oberfläche) fordert p_max ≤ 1,67·Rp0,2 beim Linien- und ≤ 1,61·Rp0,2 beim Punktkontakt; für gehärtete Wälzpaarungen und Schmierung gelten höhere, kontextabhängige Richtwerte.
Rechenbeispiel
Beispiel Kugel auf Ebene: Eine gehärtete Kugel mit Durchmesser 10 mm (R1 = 5 mm) wird mit F = 100 N gegen eine ebene Fläche gedrückt, beide aus Stahl (E = 210 000 N/mm², ν = 0,3). Der reduzierte Modul ist E* = 115 385 N/mm², der Ersatzradius R = 5 mm.
Der Kontaktradius wird a = (3·100·5/(4·115 385))^(1/3) = 0,148 mm. Daraus folgt die maximale Pressung p_max = 3·100/(2·π·0,148²) = 2176 N/mm², die mittlere Pressung 1451 N/mm² und die Annäherung δ = a²/R = 4,4 µm. Die Kontrollformel für Stahl/Stahl p_max = 2176·(F/d²)^(1/3) bestätigt den Wert.
Unter der Oberfläche liegt die maximale Schubspannung bei τ_max = 0,31·2176 = 675 N/mm² in der Tiefe z = 0,48·a = 0,071 mm. Gegen eine zulässige Pressung von 4200 N/mm² (gehärtete Wälzpaarung, statisch) ist die Ausnutzung 52 %, die Sicherheit S = 1,93 – der Kontakt ist statisch tragfähig.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Punkt- und Linienkontakt?
Beim Punktkontakt (Kugel–Kugel, Kugel–Ebene) berühren sich die Körper zunächst in einem Punkt, unter Last entsteht eine kreisförmige Kontaktfläche mit dem Radius a. Beim Linienkontakt (Zylinder–Zylinder, Zylinder–Ebene) berühren sie sich entlang einer Linie, unter Last entsteht ein Rechteck der Breite 2b über die tragende Länge L. Deshalb wird der Linienkontakt mit der Linienlast F' = F/L gerechnet und die Pressung steigt langsamer mit der Kraft als beim Punktkontakt.
Wie gebe ich einen konkaven Gegenkörper (Hohlkugel, Lagerschale) ein?
Wählen Sie beim zweiten Körper den Schalter konkav. Der Radius R2 wird dann mit negativem Vorzeichen verrechnet: 1/R = 1/R1 − 1/R2. Der konkave Körper schmiegt sich an, die Kontaktfläche wird größer und die Pressung kleiner. Voraussetzung ist |R2| > R1; bei nahezu gleichen Radien wird die Fläche elliptisch und die einfache Theorie unterschätzt sie – der Rechner warnt in diesem Fall.
Welchen E-Modul und welche Querkontraktionszahl soll ich ansetzen?
Für beide Körper getrennt: Stahl E = 210 000 N/mm² und ν = 0,3, Grauguss E ≈ 110 000 N/mm² und ν = 0,25, Bronze E ≈ 95 000 N/mm² und ν = 0,35, Aluminium E ≈ 70 000 N/mm² und ν = 0,33. Sie können einen Werkstoff aus der Datenbank wählen, der E und ν übernimmt, oder beide Werte frei eingeben. Die ISO 6336 rechnet Stahl mit 206 000 N/mm²; der Unterschied wirkt sich nur um etwa 1,3 Prozent auf p_max aus.
Warum ist die maximale Schubspannung wichtiger als die Oberflächenpressung?
An der Oberfläche herrscht dreiachsiger Druck, der kein Fließen auslöst. Versagen beginnt mit der Schubspannung im Werkstoffinneren, deren Maximum bei etwa 0,31·p_max (Punkt) beziehungsweise 0,300 bis 0,304·p_max (Linie, je nach Quelle: eigene Numerik 0,3003, Niemann 0,304) in einer Tiefe von 0,48·a beziehungsweise 0,78 bis 0,79·b liegt. Zusätzlich gibt es die Wechselschubspannung τ_yz (0,25·p_max in 0,5·b beim Linien-, 0,215·p_max in 0,35·a beim Punktkontakt, nach Niemann), die beim Überrollen ihr Vorzeichen wechselt, oberflächennäher liegt und als eigentliche Ursache der Grübchenermüdung gilt. Genau dort entstehen bei Wälzbeanspruchung die ersten Anrisse (Pitting). Die Härtetiefe muss deshalb deutlich unter dieser Zone liegen.
Welche zulässige Pressung ist richtig?
Das hängt vom Anwendungsfall ab. Für duktilen Stahl unter ruhender Last gilt der Fließbeginn bei 1,67·Rp0,2 (Linie) beziehungsweise 1,61·Rp0,2 (Punkt). Gehärtete Wälzpaarungen ertragen statisch 4000 bis 4600 N/mm² (Niveau der statischen Tragzahl C0 mit kleiner bleibender Verformung), im Dauerbetrieb aber nur etwa 1500 N/mm². Für Schneckenrad-Bronzen oder Grauguss gelten eigene Werte. Der Rechner bietet diese Richtwerte mit Kontext und Quelle zur Auswahl an; mischen Sie die Kontexte nicht.
Wo liegen die Grenzen dieses Rechners?
Die Hertz-Theorie setzt homogene, linear-elastische Werkstoffe und den Halbraum voraus: Die Kontaktabmessungen müssen klein gegen die Krümmungsradien sein (a, b « R). Reibung, Tangentialkräfte, Schmierfilm und Eigenspannungen sind nicht erfasst, ebenso keine Kantenüberhöhung an Rollenenden (deshalb werden Rollen bombiert). Allgemein gekrümmte Körper mit elliptischer Kontaktfläche (Kugel in Rille, gekreuzte Zylinder) erfordern die elliptische Theorie mit Beiwerten. Bei sehr weichen Werkstoffen wie Kunststoff sind die Werte wegen Viskoelastizität nur Anhaltswerte.