Stirnrad-Rechner: Tragfähigkeit nach DIN 3990 / ISO 6336

Formeln und Grundlagen

Verzahnungsgeometrie

Die Geometrie folgt der Evolventen-Grundkette: Aus Normalmodul mn, Zähnezahlen z1/z2 und Schrägungswinkel β ergeben sich Stirnmodul, Teilkreise und Grundkreise:

Die Profilverschiebungssumme legt über die Evolventenfunktion den Betriebseingriffswinkel α_wt fest, daraus folgt der Betriebs-Achsabstand:

Im Umkehrmodus bestimmt der Rechner aus einem vorgegebenen Achsabstand die erforderliche Profilverschiebungssumme x1 + x2.

Überdeckung und Grenzwerte

Die Profilüberdeckung ε_α ist das Verhältnis von Eingriffsstrecke zu Eingriffsteilung und beschreibt, wie viele Zahnpaare im Mittel gleichzeitig tragen. Sie muss größer als 1 sein, üblich sind 1,1 bis 1,9 bei Geradverzahnung. Bei Schrägverzahnung kommt die Sprungüberdeckung hinzu:

Der Rechner prüft außerdem Unterschnitt (Grenzzähnezahl, Mindest-Profilverschiebung), Spitzgrenze der Kopfzahndicke und das Kopfspiel. Die Kopfkreise werden ohne Kopfkürzung ausgegeben, der Kopfkürzungsfaktor k wird separat ausgewiesen.

Fußeingriffsstörung (Kopfkanteneingriff)

Eine brauchbare Evolvente hat die Flanke nur zwischen Fußformkreis d_Ff und Kopfkreis da; darunter liegt die Fußrundung des Werkzeugs. Der Eingriff beginnt aber schon am Fußnutzkreis d_Nf, den der Kopfkreis des Gegenrads festlegt. Greift die Kopfkante des Gegenrads unter d_Ff, läuft sie in die Fußrundung statt auf der Evolvente. Bedingung an beiden Rädern:

Den Fußformkreis bestimmt die nutzbare Werkzeug-Kopfhöhe hN. Sie ist dieselbe Größe, die auch in der Grenzzähnezahl- und der x_min-Gleichung steht (bei DIN 867 ist hN = 0,99997·mn, deshalb funktioniert dort x_min = 1 − z·sin²α/2):

Mit dem Abstand e des Formpunkts vom Grundkreis-Berührpunkt T folgen Fußformkreis und Fußnutzkreis; Letzterer aus der Eingriffsstrecke T1T2 und dem Kopfkreis des Gegenrads:

Bewertet wird nicht die radiale Differenz, sondern die Reserve Δ_ξ auf der Eingriffslinie. Nahe dem Grundkreis geht die radiale Empfindlichkeit gegen null: Ein Lehrbuch-Nullradpaar mn = 2, z = 18/71 hat radial nur 17 µm Reserve, auf der Eingriffslinie aber 0,5 mm. Grenzwert ist Δ_ξ ≥ max(0,02·mn; 0,05 mm), abgeleitet aus einem Toleranzstapel aus Achsabstandsabweichung, Rundlauf, Teilungsabweichung und Streuung des Formkreises. Liegt eine Störung vor, sinkt die nutzbare Profilüberdeckung ε_α,nutz unter den geometrischen Wert; dann ist der geometrische Wert zu günstig und die Tragfähigkeitsrechnung gegenstandslos, weil sie ungestörten Evolventeneingriff voraussetzt.

Grenzen der Prüfung: nur Nennmaß ohne Toleranzen, nur die Fußseite (Kopffasen und Kopfrücknahmen sind nicht modelliert), nur Außenverzahnung, nur Wälzfräsen mit Zahnstangenwerkzeug ohne Protuberanz und ohne Schleifaufmaß (ein Schleifabsatz hebt d_Ff und kann eine rechnerisch grüne Auslegung stören), Werkzeug-Kopfhöhe gleich der Zahnfußhöhe des Bezugsprofils. Bei deutlichem Unterschnitt ist die geschlossene d_Ff-Formel nicht exakt; der Rechner fällt dort auf „nicht abgesichert“ zurück statt ein Urteil zu behaupten. Zwei Folgen hat das: Erstens ist ε_α,nutz dort nur noch eine untere Schranke, deshalb wird die Auslegung dann an der geometrischen Profilüberdeckung gemessen und aus der unsicheren Zahl keine Blockade abgeleitet. Zweitens bleibt eine Schranke trotzdem gültig, denn die nutzbare Evolvente kann frühestens am Grundkreis beginnen: Liegt schon die so gebildete obere Schranke der Reserve im Minus, ist die Störung gesichert und wird als solche gemeldet, auch wenn ihr Betrag offen bleibt. Bei Schrägverzahnung gilt die übliche Stirnschnitt-Näherung nach ISO 21771.

Zahnfuß-Tragfähigkeit

Der Zahnfuß-Schnellcheck rechnet in Anlehnung an DIN 3990-3 / ISO 6336-3. Die Zahnfuß-Nennspannung verwendet den Formfaktor YFa und den Spannungskorrekturfaktor YSa aus dem 30°-Tangenten-Rechenweg der Methode B, angesetzt am Zahnkopf (Methode-C-Variante mit Überdeckungsfaktor Y_ε):

Mit den Kraftfaktoren KA, KV, KFβ und KFα folgt die Sicherheit:

Flanken-Tragfähigkeit

Der Flanken-Schnellcheck nach DIN 3990-2 / ISO 6336-2 modelliert die Hertzsche Pressung im Wälzpunkt mit Zonenfaktor ZH, Elastizitätsfaktor ZE (aus E-Modul und Querdehnzahl berechnet), Überdeckungsfaktor Z_ε und Schrägenfaktor Z_β:

Die Sicherheit ist SH = σHlim/σ_H, maßgebend ist der weichere Werkstoff. Der Norm-Schalter berücksichtigt den Definitionsunterschied Z_β = √cos β (DIN 3990) bzw. 1/√cos β (ISO 6336).

Bewusste Vereinfachungen des Schnellchecks: Dynamikfaktor pauschal KV = 1,2 (gültig bis etwa v = 10 m/s), Breitenlastfaktoren KHβ/KFβ aus einer Qualitätsstufen-Tabelle, KHα = KFα = 1, Einzeleingriffsfaktor ZB/D = 1 und Dauerfestigkeit ohne Lebensdauer-, Schmierstoff- und Größenfaktoren. Die Werkstoffwerte σHlim/σ_Flim sind Richtwerte aus publizierten Streubändern, keine Kurvenwerte nach ISO 6336-5. Für einen dokumentierten Nachweis nach vollständiger Methode B ist die Norm heranzuziehen.

Rechenbeispiel

Referenzbeispiel: Ein geradverzahntes Radpaar mit mn = 3 mm, z1 = 20, z2 = 60 (u = 3), b = 40 mm überträgt P = 7,5 kW bei n1 = 1450 1/min. Daraus folgen T1 = 49,4 Nm, Ft = 1646 N und v = 4,56 m/s. Die Geometrie liefert ε_α = 1,67; für Rad 1 ergeben sich YFa = 2,80 und YSa = 1,55.

Mit KA = 1,25 (mäßige Stöße), KV = 1,2 und Qualität 7-8 (KHβ = 1,5 / KFβ = 1,25) sowie beiderseits 16MnCr5 einsatzgehärtet (σHlim = 1470, σ_Flim = 430 N/mm²) folgt: σ_F = 78 N/mm² und SF = 11,0 am Ritzel, σ_H = 598 N/mm² und SH = 2,46 an der Flanke. Typisch für einsatzgehärtete Räder ist die Flanke das maßgebende Kriterium, der Zahnfuß hat große Reserven - beide Sicherheiten liegen deutlich über den Mindestwerten.

Häufige Fragen

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