Knickung nach Euler und Tetmajer
Berechnen Sie die Knicksicherheit gerader Druckstäbe: Aus Eulerfall, Stablänge und Querschnitt folgen Schlankheitsgrad, Knickspannung, kritische Knickkraft und die vorhandene Sicherheit. Der Rechner entscheidet automatisch zwischen elastischem Knicken (Euler), unelastischem Knicken (Tetmajer) und dem Quetschbereich, zeigt den Arbeitspunkt im σ-λ-Diagramm und führt zusätzlich den Druckspannungsnachweis, live mit jeder Eingabe.
Berechnung
Modell: idealer, gerader Stab mit konstantem Querschnitt unter statischer Druckkraft, mittig oder mit vorgegebener Ausmitte e; Imperfektionen werden pauschal über die Knicksicherheit abgedeckt. Kein Drillknicken/Biegedrillknicken offener dünnwandiger Profile, keine Querlast. Dimensionierungswerkzeug für den Maschinen- und Vorrichtungsbau - tragende Bauteile im Bauwesen nach DIN EN 1993-1-1 (Knickspannungslinien) nachweisen, beide Konzepte nicht mischen. Für Druckfedern den Feder-Rechner, für Balken unter Querlast den Balken-Rechner verwenden.
Ergebnisse
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Formeln und Grundlagen
Eulersche Knickformel und Knicklänge
Ein mittig gedrückter, idealer Stab wird instabil, sobald die Druckkraft die kritische Knickkraft erreicht. Im elastischen Bereich gilt die Eulersche Knickformel:
Maßgebend ist stets das kleinste Flächenträgheitsmoment I_min, denn der Stab knickt um seine schwache Achse. Die Lagerung geht über die Knicklänge l_k ein: Die vier Eulerfälle liefern β = 2 (unten eingespannt, oben frei - die klassische Kolbenstange), β = 1 (beidseitig gelenkig, der Grundfall), β = 0,699 (unten eingespannt, oben gelenkig) und β = 0,5 (beidseitig eingespannt).
Schlankheitsgrad und Grenzschlankheit
Ob Euler überhaupt gilt, entscheidet der Schlankheitsgrad λ mit dem Trägheitsradius i:
Oberhalb der werkstoffabhängigen Grenzschlankheit λ_g (S235: 105, E295/S355: 89, Grauguss: 80) bleibt die Knickspannung unter der Proportionalitätsgrenze - der Stab knickt elastisch:
Tetmajer-Bereich und Quetschgrenze
Darunter fließt der Werkstoff teilweise, bevor er ausknickt; hier gelten die empirischen Tetmajer-Gleichungen:
Unterhalb der Quetschgrenze λ_0 (S235: 65,8) erreicht die Gerade die Streckgrenze: Knicken ist kein Thema mehr, es gilt der reine Druckspannungsnachweis mit σ_k = R_e.
Wo genau die Formel wechselt
Beide Kurven sollen sich bei λ_g treffen: λ_g = π·√(E/σ_P) entsteht gerade dadurch, dass man die Euler-Spannung der Proportionalitätsgrenze gleichsetzt, und die Tetmajer-Gerade beginnt dort. In den Tafeln stammen λ_g und die Koeffizienten a und b aber aus zwei verschiedenen Quellen - λ_g aus dieser Formel, a und b aus Tetmajers Versuchen -, und deshalb treffen sie sich nicht immer genau: Für die Gerade 335 − 0,62·λ liegt der Schnittpunkt bei λ = 85,8, während die Tafeln λ_g = 89 nennen (manche Quellen 85, andere 88). Zwischen 85,8 und 89 läge die Gerade bis zu 6,9 % über der Euler-Hyperbel.
Das kann keine Knickspannung sein: Im unelastischen Bereich gilt σ_k = π²·T_K/λ² mit dem Knickmodul T_K nach Engesser und v. Kármán, und T_K ist stets kleiner als E - die Euler-Hyperbel ist die obere Schranke jeder Knickspannung. Der Rechner wechselt deshalb am Schnittpunkt beider Kurven statt am Tafelwert (E295/E335/S355: 85,8; S235: 104,1; Grauguss: 77,5). Der Übergang ist damit stetig, das Ergebnis unabhängig davon, welche Quelle für λ_g herangezogen wird, und im betroffenen Band um bis zu 6,9 % konservativer als der harte Wechsel bei λ_g.
Knicksicherheit und Druckspannungsnachweis
Die kritische Knickkraft und die vorhandene Sicherheit folgen aus:
Im Maschinenbau sind wegen der hohen Empfindlichkeit gegen Imperfektionen (Vorkrümmung, Lastexzentrizität, nachgiebige Einspannung) Knicksicherheiten von 3 bis 6 üblich, im schlanken Euler-Bereich eher am oberen Rand - der Rechner verwendet als Voreinstellung 4. Zusätzlich wird die Druckspannung σ_d = F/A gegen die Streckgrenze geprüft. Das Verfahren gilt für den geraden, prismatischen Stab unter statischer Last; tragende Bauteile im Geltungsbereich des Bauordnungsrechts sind stattdessen nach Eurocode 3 mit Knickspannungslinien nachzuweisen.
Knicklängen je Hauptachse
Ein Stab ist selten in beiden Ebenen gleich gelagert: Eine Zwischenabstützung wirkt oft nur in einer Richtung. Dann reicht die Rechnung mit I_min nicht mehr, denn maßgebend ist nicht die schwache Achse, sondern die Achse mit dem größeren Schlankheitsgrad. Wird die schwache Ebene kurz genug abgestützt, kippt die Zuständigkeit auf die starke Achse, obwohl deren Trägheitsmoment ein Vielfaches beträgt. Der Rechner nimmt deshalb wahlweise für jede Hauptachse eigene Lagerung und Länge entgegen und weist beide Schlankheitsgrade aus.
Außermittige Druckkraft
Greift die Druckkraft nicht in der Stabachse an, entsteht von Beginn an ein Biegemoment F·e, das sich mit der Durchbiegung selbst verstärkt. Die Randspannung folgt deshalb keiner einfachen Überlagerung, sondern wächst mit dem Kehrwert eines Kosinus:
Dieser Kosinus wird null, sobald die Druckkraft die Eulersche Knickkraft erreicht - dort hat die Beziehung ihren Pol, und eine Randspannung ist nicht mehr definiert; der Rechner gibt dann keinen Zahlenwert aus, sondern weist auf das Knicken hin. Die Ausmitte ist an beiden Stabenden gleichsinnig angesetzt: Wer nur an einem Ende außermittig einleitet, liegt damit rund um den Faktor zwei auf der sicheren Seite. Die Beziehung ist am beidseitig gelenkigen Stab hergeleitet und steht hier nur für die Knickfälle 1 und 2 zur Verfügung. Bei eingespanntem Kopf wandert das größte Moment an den Fuß, bei beidseitiger Einspannung bleibt überhaupt kein Biegeanteil übrig, weil das Moment F·e vollständig in die Einspannungen geht.
Rechenbeispiel
Ein Rundstab aus S235 mit Durchmesser 30 mm und freier Länge 1500 mm ist beidseitig gelenkig gelagert (Eulerfall 2, β = 1) und trägt eine zentrische Druckkraft von 7 kN. Querschnittswerte: A = 706,9 mm², I_min = 39 761 mm⁴, Trägheitsradius i = √(I_min/A) = 7,5 mm.
Mit der Knicklänge l_k = 1·1500 mm = 1500 mm folgt der Schlankheitsgrad λ = 1500/7,5 = 200. Wegen λ = 200 ≥ λ_g = 105 knickt der Stab elastisch - der Euler-Bereich ist maßgebend. Die Knickspannung beträgt σ_k = π²·210 000/200² = 51,8 N/mm², die kritische Knickkraft F_k = σ_k·A = 36,6 kN.
Die vorhandene Sicherheit ist S_vorh = F_k/F = 36 626/7000 = 5,23 und liegt über der erforderlichen Knicksicherheit S_erf = 4 - der Nachweis ist erfüllt. Der Druckspannungsnachweis ist mit σ_d = F/A = 9,9 N/mm² gegenüber R_e = 235 N/mm² unkritisch, wie es bei schlanken Stäben typisch ist: Die Stabilität, nicht die Festigkeit begrenzt die Tragfähigkeit.
Häufige Fragen
Wann gilt Euler, wann Tetmajer?
Oberhalb der Grenzschlankheit λ_g knickt der Stab elastisch nach Euler (σ_k = π²·E/λ²), darunter unelastisch nach den empirischen Tetmajer-Gleichungen. Unterhalb der Quetschgrenze λ_0 liegt gar kein Stabilitätsproblem mehr vor, sondern reines Fließen unter Druck. Der Rechner ordnet den Bereich automatisch zu und zeigt ihn als Badge an. Gewechselt wird dabei am Schnittpunkt beider Kurven und nicht am Tafelwert λ_g, weil die Tafelwerte nicht überall zusammenpassen - Einzelheiten im Abschnitt „Wo genau die Formel wechselt".
Welchen Eulerfall soll ich wählen?
Immer über die tatsächliche Lagerung, nicht über die Fallnummer - die Nummerierung ist in der Literatur nicht einheitlich. Eine ausgefahrene Kolbenstange entspricht Fall 1 (β = 2), ein Pendelstab Fall 2 (β = 1). Reale Einspannungen sind selten ideal starr: Im Zweifel konservativ den größeren β-Wert ansetzen, denn die Knickkraft fällt mit 1/β².
Warum zählt das kleinste Flächenträgheitsmoment I_min?
Der Stab knickt um die Achse mit dem geringsten Widerstand. Bei einem Rechteckquerschnitt ist das die Achse parallel zur langen Seite (I_min = h·b³/12 mit b ≤ h). Das Verwechseln von I_min und I_max ist der häufigste Anwenderfehler beim Knicknachweis - der Rechner bildet I_min automatisch aus den Abmessungen. Das gilt allerdings nur, solange der Stab in beiden Ebenen gleich lang und gleich gelagert ist: Sobald eine Zwischenabstützung nur in einer Richtung wirkt, entscheidet der größere Schlankheitsgrad, und das kann die starke Achse sein. Dafür lassen sich die Knicklängen je Hauptachse getrennt eingeben.
Wie wird eine außermittig angreifende Druckkraft berücksichtigt?
Über das Feld Ausmitte e. Der Rechner prüft dann nicht mehr die Druckspannung F/A gegen die Streckgrenze, sondern die Randspannung aus Druck und Biegung, die mit wachsender Last überproportional zunimmt und bei Erreichen der Knickkraft nicht mehr definiert ist. Für den Nenner wird das Widerstandsmoment gebraucht; bei Direkteingabe von Fläche und Trägheitsmoment ist es daraus nicht bestimmbar und muss zusätzlich angegeben werden. Das Feld steht nur für die Knickfälle 1 und 2 zur Verfügung, weil die Beziehung am gelenkigen Stab hergeleitet ist: Bei eingespanntem Kopf sitzt das größte Moment am Fuß, bei beidseitiger Einspannung gibt es überhaupt keinen Biegeanteil. Für diese Lagerungen führt der Nachweis nach Eurocode 3 zum Ziel, wo die Imperfektion über die Knickspannungslinie und die Lagerung über die Knicklänge eingeht.
Warum ist die erforderliche Knicksicherheit mit 3 bis 6 so hoch?
Weil die Knickkraft extrem empfindlich auf Imperfektionen reagiert: Vorkrümmung, außermittige Lasteinleitung und nachgiebige Einspannungen senken die reale Traglast deutlich unter den Idealwert. Diese Effekte werden pauschal über die globale Sicherheit abgedeckt. Je schlanker der Stab, desto höher sollte sie gewählt werden; Zylinderhersteller geben für Kolbenstangen oft eigene Werte vor.
Was bedeutet der Badge „Quetschbereich - Drucknachweis maßgebend"?
Bei sehr gedrungenen Stäben (λ < λ_0) ergäbe die Tetmajer-Gerade Spannungen über der Streckgrenze - physikalisch sinnlos, der Werkstoff fließt vorher. Der Rechner kappt die Knickspannung deshalb bei R_e; der Nachweis wird zum reinen Druckspannungsnachweis. Bei Grauguss tritt an die Stelle der Streckgrenze die Druckfestigkeit σ_dB.
Ersetzt der Rechner den Nachweis nach Eurocode 3?
Nein. Euler/Tetmajer mit globaler Sicherheit ist die klassische Dimensionierungspraxis im Maschinen- und Vorrichtungsbau. Tragwerke im Geltungsbereich des Bauordnungsrechts sind nach DIN EN 1993-1-1 (Biegeknicknachweis mit Knickspannungslinien und Teilsicherheitsbeiwerten) nachzuweisen - ein anderes Konzept, das nicht mit der Knicksicherheit S = 3…6 gemischt werden darf. Das historische ω-Verfahren nach DIN 4114, das in alten Berechnungen noch auftaucht, ist seit den 1970ern abgelöst.
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