Knickung nach Euler und Tetmajer
Berechnen Sie die Knicksicherheit gerader Druckstäbe: Aus Eulerfall, Stablänge und Querschnitt folgen Schlankheitsgrad, Knickspannung, kritische Knickkraft und die vorhandene Sicherheit. Der Rechner entscheidet automatisch zwischen elastischem Knicken (Euler), unelastischem Knicken (Tetmajer) und dem Quetschbereich, zeigt den Arbeitspunkt im σ-λ-Diagramm und führt zusätzlich den Druckspannungsnachweis.
Knickungs-Rechner (Euler/Tetmajer)
Modell: idealer, gerader Stab mit konstantem Querschnitt und zentrischer, statischer Druckkraft; Imperfektionen werden pauschal über die Knicksicherheit abgedeckt. Kein Drillknicken/Biegedrillknicken offener dünnwandiger Profile, keine Querlast. Dimensionierungswerkzeug für den Maschinen- und Vorrichtungsbau – tragende Bauteile im Bauwesen nach DIN EN 1993-1-1 (Knickspannungslinien) nachweisen, beide Konzepte nicht mischen. Für Druckfedern den Feder-Rechner, für Balken unter Querlast den Balken-Rechner verwenden.
Ergebnisse
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Formeln und Grundlagen
Ein mittig gedrückter, idealer Stab wird instabil, sobald die Druckkraft die kritische Knickkraft erreicht. Im elastischen Bereich gilt die Eulersche Knickformel F_k = π²·E·I_min/l_k². Maßgebend ist stets das kleinste Flächenträgheitsmoment I_min, denn der Stab knickt um seine schwache Achse. Die Lagerung geht über die Knicklänge l_k = β·L ein: Die vier Eulerfälle liefern β = 2 (unten eingespannt, oben frei – die klassische Kolbenstange), β = 1 (beidseitig gelenkig, der Grundfall), β = 0,699 (unten eingespannt, oben gelenkig) und β = 0,5 (beidseitig eingespannt).
Ob Euler überhaupt gilt, entscheidet der Schlankheitsgrad λ = l_k/i mit dem Trägheitsradius i = √(I_min/A). Oberhalb der werkstoffabhängigen Grenzschlankheit λ_g (S235: 105, E295/S355: 89, Grauguss: 80) bleibt die Knickspannung σ_k = π²·E/λ² unter der Proportionalitätsgrenze – der Stab knickt elastisch. Darunter fließt der Werkstoff teilweise, bevor er ausknickt; hier gelten die empirischen Tetmajer-Gleichungen σ_k = a + b·λ + c·λ², für S235 etwa σ_k = 310 − 1,14·λ. Unterhalb der Quetschgrenze λ_0 (S235: 65,8) erreicht die Gerade die Streckgrenze: Knicken ist kein Thema mehr, es gilt der reine Druckspannungsnachweis mit σ_k = R_e.
Die kritische Knickkraft folgt aus F_k = σ_k·A, die vorhandene Sicherheit aus S_vorh = F_k/F. Im Maschinenbau sind wegen der hohen Empfindlichkeit gegen Imperfektionen (Vorkrümmung, Lastexzentrizität, nachgiebige Einspannung) Knicksicherheiten von 3 bis 6 üblich, im schlanken Euler-Bereich eher am oberen Rand – der Rechner verwendet als Voreinstellung 4. Zusätzlich wird die Druckspannung σ_d = F/A gegen die Streckgrenze geprüft. Das Verfahren gilt für den geraden, prismatischen Stab mit zentrischer, statischer Last; tragende Bauteile im Geltungsbereich des Bauordnungsrechts sind stattdessen nach Eurocode 3 mit Knickspannungslinien nachzuweisen.
Rechenbeispiel
Ein Rundstab aus S235 mit Durchmesser 30 mm und freier Länge 1500 mm ist beidseitig gelenkig gelagert (Eulerfall 2, β = 1) und trägt eine zentrische Druckkraft von 7 kN. Querschnittswerte: A = 706,9 mm², I_min = 39 761 mm⁴, Trägheitsradius i = √(I_min/A) = 7,5 mm.
Mit der Knicklänge l_k = 1·1500 mm = 1500 mm folgt der Schlankheitsgrad λ = 1500/7,5 = 200. Wegen λ = 200 ≥ λ_g = 105 knickt der Stab elastisch – der Euler-Bereich ist maßgebend. Die Knickspannung beträgt σ_k = π²·210 000/200² = 51,8 N/mm², die kritische Knickkraft F_k = σ_k·A = 36,6 kN.
Die vorhandene Sicherheit ist S_vorh = F_k/F = 36 626/7000 = 5,23 und liegt über der erforderlichen Knicksicherheit S_erf = 4 – der Nachweis ist erfüllt. Der Druckspannungsnachweis ist mit σ_d = F/A = 9,9 N/mm² gegenüber R_e = 235 N/mm² unkritisch, wie es bei schlanken Stäben typisch ist: Die Stabilität, nicht die Festigkeit begrenzt die Tragfähigkeit.
Häufige Fragen
Wann gilt Euler, wann Tetmajer?
Oberhalb der Grenzschlankheit λ_g knickt der Stab elastisch nach Euler (σ_k = π²·E/λ²), darunter unelastisch nach den empirischen Tetmajer-Gleichungen. Unterhalb der Quetschgrenze λ_0 liegt gar kein Stabilitätsproblem mehr vor, sondern reines Fließen unter Druck. Der Rechner ordnet den Bereich automatisch zu und zeigt ihn als Badge an.
Welchen Eulerfall soll ich wählen?
Immer über die tatsächliche Lagerung, nicht über die Fallnummer – die Nummerierung ist in der Literatur nicht einheitlich. Eine ausgefahrene Kolbenstange entspricht Fall 1 (β = 2), ein Pendelstab Fall 2 (β = 1). Reale Einspannungen sind selten ideal starr: Im Zweifel konservativ den größeren β-Wert ansetzen, denn die Knickkraft fällt mit 1/β².
Warum zählt das kleinste Flächenträgheitsmoment I_min?
Der Stab knickt um die Achse mit dem geringsten Widerstand. Bei einem Rechteckquerschnitt ist das die Achse parallel zur langen Seite (I_min = h·b³/12 mit b ≤ h). Das Verwechseln von I_min und I_max ist der häufigste Anwenderfehler beim Knicknachweis – der Rechner bildet I_min automatisch aus den Abmessungen.
Warum ist die erforderliche Knicksicherheit mit 3 bis 6 so hoch?
Weil die Knickkraft extrem empfindlich auf Imperfektionen reagiert: Vorkrümmung, außermittige Lasteinleitung und nachgiebige Einspannungen senken die reale Traglast deutlich unter den Idealwert. Diese Effekte werden pauschal über die globale Sicherheit abgedeckt. Je schlanker der Stab, desto höher sollte sie gewählt werden; Zylinderhersteller geben für Kolbenstangen oft eigene Werte vor.
Was bedeutet der Badge „Quetschbereich – Drucknachweis maßgebend"?
Bei sehr gedrungenen Stäben (λ < λ_0) ergäbe die Tetmajer-Gerade Spannungen über der Streckgrenze – physikalisch sinnlos, der Werkstoff fließt vorher. Der Rechner kappt die Knickspannung deshalb bei R_e; der Nachweis wird zum reinen Druckspannungsnachweis. Bei Grauguss tritt an die Stelle der Streckgrenze die Druckfestigkeit σ_dB.
Ersetzt der Rechner den Nachweis nach Eurocode 3?
Nein. Euler/Tetmajer mit globaler Sicherheit ist die klassische Dimensionierungspraxis im Maschinen- und Vorrichtungsbau. Tragwerke im Geltungsbereich des Bauordnungsrechts sind nach DIN EN 1993-1-1 (Biegeknicknachweis mit Knickspannungslinien und Teilsicherheitsbeiwerten) nachzuweisen – ein anderes Konzept, das nicht mit der Knicksicherheit S = 3…6 gemischt werden darf. Das historische ω-Verfahren nach DIN 4114, das in alten Berechnungen noch auftaucht, ist seit den 1970ern abgelöst.