Balkenbiegung berechnen
Berechnen Sie Auflagerkräfte, Momentenverlauf, Biegelinie, Neigung und Biegespannung gerader Balken nach der technischen Biegetheorie (Euler-Bernoulli). Sechs Lagerungen mit 40 Lastfällen, Querschnitt parametrisch eingeben oder I und W direkt vorgeben, Eigengewicht des Trägers voreingestellt mitgerechnet. Der Rechner liefert den doppelten Nachweis gegen Streckgrenze und Durchbiegungskriterium mit Ampelbewertung, live mit jeder Eingabe.
Berechnung
Modell: gerader, prismatischer Balken nach Euler-Bernoulli (Theorie 1. Ordnung, linear-elastisch, statische Last, Biegung um die Hauptachse). Kein Stabilitäts- und kein Ermüdungsnachweis. Das Eigengewicht des Trägers wird auf Wunsch als Gleichstreckenlast überlagert (Voreinstellung an), die Überlagerung ist nach Theorie 1. Ordnung zulässig. Dimensionierungswerkzeug für den Maschinen- und Vorrichtungsbau, kein baurechtlicher Nachweis (dafür Eurocode 3). Für umlaufende Wellen den Wellen-Rechner nach DIN 743 verwenden.
Ergebnisse
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Formeln und Grundlagen
Euler-Bernoulli-Differentialgleichung
Grundlage ist die linearisierte Biegelinien-Differentialgleichung der Euler-Bernoulli-Theorie: die Krümmung der Balkenachse ist proportional zum örtlichen Biegemoment. Mit der Vorzeichenkonvention dieses Rechners - Durchbiegung w nach unten positiv, Biegemoment M positiv bei Zug an der Unterseite - lautet sie:
Zweimalige Integration mit den Randbedingungen der Lagerung (Gelenk: w = 0, Einspannung: w = 0 und w′ = 0) liefert für jeden Standardlastfall eine geschlossene Lösung. Bei den statisch unbestimmten Lagerungen - beidseitig eingespannt und eingespannt-gestützt - reichen die Gleichgewichtsbedingungen dafür nicht aus; dort liefert erst die Verformungsbedingung an der überzähligen Bindung die fehlende Gleichung. Der Rechner wertet die daraus folgenden Segmentpolynome exakt aus - für den Einfeldträger mit mittiger Einzellast gilt zum Beispiel:
für die Gleichstreckenlast:
für den Kragarm mit Endlast:
Querschnittswerte
Die Querschnittswerte werden aus den Abmessungen als zusammengesetzte Flächen berechnet (großes Rechteck minus Aussparung): beim Rechteck gilt:
beim Rundstab:
analog für Rohr, Rechteckrohr und doppelt-symmetrisches I-Profil. Die parametrische I-Profil-Rechnung ohne Ausrundungsradien liegt etwa 4 bis 5 Prozent unter den Katalogwerten gewalzter IPE-Profile und ist damit konservativ. Wer mit dem Katalogwert rechnen will, wählt statt der Parametereingabe das Normprofil: 118 Walzprofile der Reihen IPE, HEB/IPB, I/IPN, U/UPN und Hohlprofile mit den Werten der Profiltafel, einschließlich der Ausrundungen. Bei IPE 240 sind das 3.890 statt 3.671 cm⁴, also 5,6 Prozent Unterschied. Das Widerstandsmoment leitet der Rechner daraus ab - W = 2·I/h um die starke, W = 2·I/b um die schwache Achse -, weil die gedruckte W-Spalte gelegentlich Satzfehler trägt; aus I gerechnet trifft der Wert die Tafel auf ein halbes Prozent. Wichtig ist die Rolle der beiden Kennwerte: die Durchbiegung hängt vom Flächenträgheitsmoment I ab, die Spannung vom Widerstandsmoment W - beide werden getrennt ausgewiesen und können auch direkt eingegeben werden.
Spannungs- und Durchbiegungsnachweis
Der Spannungsnachweis vergleicht die maximale Biegespannung mit der zulässigen Spannung R_e/S_erf:
Beim beidseitig eingespannten Träger unter Streckenlast ist dabei das Einspannmoment q·L²/12 maßgebend, nicht das Feldmoment q·L²/24. Der Durchbiegungsnachweis prüft f_max gegen f_zul = L/k mit wählbarem Kriterium (üblich L/300 für allgemeine Träger, L/500 bei empfindlichem Aufbau, L/150 für Kragarme). Bei außermittiger Einzellast liegt das Durchbiegungsmaximum nicht unter der Last, sondern im längeren Segment bei:
der Rechner gibt beide Werte aus. Bewertet wird jeweils die Auslastung, also der vorhandene Wert bezogen auf den zulässigen. Über 1,0 ist der Nachweis nicht geführt und die Ampel steht auf Rot; zwischen 0,9 und 1,0 ist er geführt, aber ohne nennenswerte Reserve, und die Ampel steht auf Gelb. Eine vorhandene Sicherheit unterhalb der geforderten gilt damit als nicht erfüllt und nicht als grenzwertig.
Eigengewicht und Überlagerung
Das Eigengewicht des Trägers ist voreingestellt mitgerechnet. Aus Querschnittsfläche und Dichte wird eine Gleichstreckenlast über die ganze Länge gebildet:
Sie wird dem gewählten Lastfall überlagert. Nach der Theorie 1. Ordnung ist das zulässig, weil alle Größen linear von der Last abhängen: Querkraft, Biegemoment und Biegelinie addieren sich punktweise. Die Extremwerte tun das nicht - bei außermittiger Last läge die Summe der beiden Einzelmaxima zu hoch und am falschen Ort. Der Rechner bestimmt Größtmoment, Größtdurchbiegung und Momentennullpunkte deshalb aus den bereits überlagerten Verläufen neu. Wie stark das Eigengewicht ins Gewicht fällt, hängt nicht von der Länge allein ab, sondern vom Verhältnis Trägergewicht zu Nutzlast - bei mittiger Einzellast genau G/(2·F). Wer ohne rechnen will, etwa weil die eingegebene Last das Eigengewicht schon enthält, schaltet es unter der Lasteingabe ab.
Rechenbeispiel
Ein Rundstab mit Durchmesser 50 mm aus S355 (R_e = 355 N/mm²) liegt als Einfeldträger auf 2000 mm Stützweite und trägt mittig eine Einzellast von 5000 N. Die Querschnittswerte sind A = 1963,5 mm², I = 306 796 mm⁴ und W = 12 272 mm³; beide Auflagerkräfte betragen 2500 N. Das Eigengewicht bleibt in dieser Rechnung außen vor, damit die Zahlen den Lehrbuchformeln entsprechen; im Rechner ist es voreingestellt mitgerechnet (siehe letzter Absatz).
Das maximale Biegemoment in Feldmitte ist M_max = F·L/4 = 2,5·10⁶ Nmm. Daraus folgt die Biegespannung σ_b = M_max/W = 203,7 N/mm² und die Sicherheit S_vorh = 355/203,7 = 1,74 - der Spannungsnachweis ist mit S_erf = 1,5 erfüllt. Die maximale Durchbiegung in Feldmitte beträgt f_max = F·L³/(48·E·I) = 12,93 mm, die Neigung an den Auflagern 19,4 mrad (1,11°).
Gegen das Kriterium L/300 = 6,67 mm ist die Durchbiegung jedoch nicht erfüllt (Auslastung 194 Prozent). Das Beispiel zeigt den typischen Fall im Maschinenbau: nicht die Spannung, sondern die Steifigkeit ist maßgebend - hier hilft ein höherer Querschnitt (I wächst mit h³) mehr als ein festerer Werkstoff.
Der Rechner startet deshalb mit demselben Träger, aber d = 65 mm: I steigt auf 876 240 mm⁴, die Durchbiegung sinkt auf 4,53 mm (68 Prozent Auslastung) und die Biegespannung auf 92,7 N/mm² (S_vorh = 3,83) - beide Nachweise sind erfüllt. Mit d = 50 mm statt 65 mm fällt der Durchbiegungsnachweis durch, weil die Durchbiegung mit der vierten Potenz des Durchmessers abnimmt: 30 Prozent mehr Durchmesser reduzieren sie auf gut ein Drittel, während die Spannung nur mit d³ sinkt.
Der Rechner zeigt beim Start etwas höhere Werte als eben gerechnet, weil er das Eigengewicht des Stabes mitnimmt: Der Rundstab d = 65 mm wiegt über 2000 mm rund 52 kg, das entspricht einer Streckenlast von 0,256 N/mm. Damit steigen die Auflagerkräfte von 2500 N auf 2755 N, die Durchbiegung von 4,53 mm auf 4,82 mm (72 statt 68 Prozent Auslastung) und die Biegespannung von 92,7 auf 97,5 N/mm². Der Anteil des Eigengewichts folgt beim Einfeldträger mit mittiger Last dem Verhältnis G/(2·F) und wächst linear mit der Stützweite - bei 4 m Stützweite und derselben Last macht er bereits ein Drittel des Biegemoments aus. Wer ohne rechnen will, etwa weil die eingegebene Last das Eigengewicht schon enthält, schaltet es über das Kästchen unter der Lasteingabe ab.
Häufige Fragen
Worin unterscheiden sich Flächenträgheitsmoment I und Widerstandsmoment W?
I beschreibt die Steifigkeit des Querschnitts und bestimmt die Durchbiegung (f ~ 1/I), W beschreibt die Spannungsausnutzung der Randfaser und bestimmt die Biegespannung (σ = M/W). Ein häufiger Fehler ist σ = M/I. Beim doppelt-symmetrischen Querschnitt gilt W = 2·I/h mit der Querschnittshöhe h.
Welche Walzprofile sind hinterlegt, und wann nehme ich statt dessen die Parametereingabe?
Hinterlegt sind 118 Profile: IPE (DIN 1025-5), HEB/IPB (DIN 1025-2), I/IPN (DIN 1025-1), U/UPN (DIN 1026-1) sowie warm- und kaltgefertigte Hohlprofile - jeweils mit Fläche und Flächenträgheitsmoment aus der Profiltafel. Nehmen Sie das Normprofil immer dann, wenn Sie ein Katalogprofil verbauen: Die Parametereingabe rechnet den Querschnitt aus vier Maßen zusammen und lässt die Ausrundungen am Stegübergang weg, was bei IPE 240 gut 5 Prozent Trägheitsmoment kostet. Die Parametereingabe bleibt für geschweißte oder sonst nicht genormte Träger, die Direkteingabe für Werte aus dem CAD oder aus einem Herstellerdatenblatt. Nicht enthalten ist die Reihe HEA: Die vorliegende Quelle überspringt HEA 220, 260 und 300, und eine Reihe mit Löchern mitten in den gängigsten Größen wäre schlimmer als keine - dort greifen Sie bitte zur Direkteingabe.
Warum gibt es das U-Profil nur um die starke Achse?
Weil ein reiner Biegenachweis dort auf der unsicheren Seite läge. Das U ist zur schwachen Achse nicht symmetrisch, der Schwerpunkt sitzt nicht in der Profilmitte - das Widerstandsmoment lässt sich deshalb nicht wie sonst aus dem Trägheitsmoment und der halben Breite gewinnen; bei U 100 käme man auf 11,7 statt 8,49 cm³, also 38 Prozent zu viel. Vor allem aber liegt der Schubmittelpunkt des U-Profils außerhalb des Profils: Eine Last durch den Schwerpunkt verdrillt den Träger zusätzlich, und diese Torsion erfasst die technische Biegetheorie nicht. Für Biegung um die schwache Achse ist ein U-Profil das falsche Bauteil; wenn es doch sein muss, gehört ein Nachweis auf Biegung mit Wölbkrafttorsion dazu.
Warum ist oft die Durchbiegung maßgebend und nicht die Spannung?
Weil die Durchbiegung mit L³ bzw. L⁴ wächst, die Spannung aber nur mit L. Bei längeren Trägern ist der Steifigkeitsnachweis daher fast immer kritischer. Ein festerer Werkstoff hilft dann nicht, weil der E-Modul aller Stähle praktisch gleich ist - nur ein größeres Flächenträgheitsmoment (mehr Bauhöhe) reduziert die Durchbiegung wirksam.
Wo liegt die maximale Durchbiegung bei außermittiger Einzellast?
Nicht unter der Last, sondern im längeren Feldabschnitt bei x = √((L²−b²)/3) vom lastferneren Auflager. Das Maximum liegt aber nie weiter als etwa 0,077·L von der Feldmitte entfernt, weshalb die Mittendurchbiegung höchstens rund 3 Prozent abweicht. Die Durchbiegung direkt unter der Last kann dagegen deutlich kleiner sein; der Rechner gibt beide Werte aus.
Für welche Balken gilt die Rechnung?
Für gerade, prismatische Balken mit konstantem Querschnitt unter statischer Last, linear-elastisch und mit kleinen Verformungen (Theorie 1. Ordnung). Die Euler-Bernoulli-Theorie vernachlässigt die Schubverformung; als Faustregel sollte L/h ≥ 10 sein, darunter warnt der Rechner. Bei f_max > L/50 ist die Kleinwinkelannahme verletzt, auch dann erscheint eine Warnung.
Wie realistisch ist die ideale Einspannung?
Ideale Einspannungen sind selten: geschraubte Stirnplatten oder kurze Einspannlängen liegen zwischen Einspannung und Gelenklagerung. Die reale Durchbiegung liegt deshalb zwischen den beiden Grenzfällen - bei Streckenlast bis Faktor 5 (q·L⁴/384 gegenüber 5·q·L⁴/384). Im Zweifel beide Fälle rechnen und den ungünstigeren ansetzen.
Rechnet der Rechner das Eigengewicht des Trägers mit?
Ja, voreingestellt. Aus Querschnittsfläche und Dichte wird q_eg = ρ·g·A gebildet und dem gewählten Lastfall als Gleichstreckenlast überlagert. Maßgeblich ist nicht die Länge allein, sondern das Verhältnis Trägergewicht zu Nutzlast: Bei mittiger Einzellast beträgt der Zusatzanteil am Biegemoment genau G/(2·F). Ein Rohr 60×50 liegt damit bei 6 Prozent, ein Vollrechteck gleicher Länge bei 20 Prozent - eine Faustregel „ab X Metern“ gibt es nicht. Abschalten lässt es sich unter der Lasteingabe, etwa wenn die eingegebene Last das Eigengewicht bereits enthält. Bei Direkteingabe von I und W ohne Fläche ist es nicht bildbar; darauf weist der Rechner hin.
Was bedeuten grün, gelb und rot?
Bewertet wird die Auslastung, also der vorhandene Wert bezogen auf den zulässigen. Rot heißt: der Nachweis ist nicht geführt - die Biegespannung überschreitet R_e/S_erf oder die Durchbiegung das Kriterium L/k. Gelb heißt: geführt, aber mit weniger als 10 Prozent Reserve. Eine vorhandene Sicherheit unter der geforderten ist damit rot und nicht gelb: Ein nicht geführter Nachweis ist nicht grenzwertig, sondern nicht erfüllt. Wer mehr Reserve will, erhöht S_erf oder verschärft das Durchbiegungskriterium, statt die Ampel zu deuten.
Gilt der Einspannungsvorbehalt auch für den Kragträger?
Er gilt, wirkt aber anders. Beim beidseitig eingespannten und beim eingespannt-gestützten Träger ist das System statisch unbestimmt: Eine nachgiebige Einspannung verschiebt die Momente ins Feld und vergrößert die Durchbiegung, die tatsächliche liegt zwischen den beiden Grenzfällen. Der Kragträger ist statisch bestimmt - dort ändert eine nachgiebige Einspannung weder Querkraft noch Biegemoment, sie dreht den Träger als Ganzes. Diese Starrkörperdrehung addiert sich zur gerechneten Biegung und wächst linear mit der Kragarmlänge: 0,1 Grad Verdrehung des Anschlusses sind rund 1,7 mm je Meter Kragarm, bei 2 m Kragarm also gut ein Drittel einer typischen Durchbiegung.
Ersetzt der Rechner einen baurechtlichen Nachweis?
Nein. Der Rechner ist ein Dimensionierungswerkzeug für den Maschinen- und Vorrichtungsbau mit elastischem Spannungsnachweis und globaler Sicherheit gegen die Streckgrenze. Tragwerke des Bauwesens sind nach Eurocode 3 mit Teilsicherheitsbeiwerten, Stabilitätsnachweisen (Kippen, Beulen) und geregelten Lastannahmen nachzuweisen.
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