Schubkurbel berechnen
Berechnen Sie Kolbenweg, Kolbengeschwindigkeit und Kolbenbeschleunigung eines Schubkurbeltriebs sowie das an der Kurbel wirkende statische und dynamische Drehmoment - über den gesamten Umlauf und exakt über den Pleulwinkel β, nicht über die λ-Harmonische-Näherung. Kurbelradius, Schubstangenlänge, Drehzahl, Kolbenkraft und oszillierende Masse eingeben; der Rechner liefert live die Verläufe als Diagramm und die betragsmäßigen Spitzenwerte, live mit jeder Eingabe.
Berechnung
Modell: ebener Schubkurbeltrieb mit starrer, masseloser Schubstange und oszillierender Punktmasse am Kolben, konstante Drehzahl. Exakte Kinematik über den Pleulwinkel β (keine λ-Näherung). Reibung, Gasdruckverlauf und Elastizitäten sind nicht berücksichtigt; die Kolbenkraft F wird als konstant angesetzt.
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Formeln und Grundlagen
Geometrie und Kinematik
Der Schubkurbeltrieb wandelt die Drehung der Kurbel (Radius r) über die Schubstange (Länge l) in die Hubbewegung des Kolbens. Maßgebend ist das Pleulverhältnis λ = r/l und der Pleulwinkel β, wobei φ der Kurbeldrehwinkel und ω die Kreisfrequenz ist:
Der Kolbenweg folgt exakt aus der Geometrie; der Kolben durchläuft den Hub 2r zwischen oberem (φ = 0°) und unterem Totpunkt (φ = 180°):
Geschwindigkeit und Beschleunigung
Durch Ableitung nach der Zeit ergeben sich Geschwindigkeit und Beschleunigung:
Diese exakte β-Form ist der verbreiteten Näherung a ≈ ω²·r·(cos φ + λ·cos 2φ) überlegen: schon bei φ = 90° und λ = 1/3 unterscheiden sich die Ergebnisse spürbar (exakt −13,96 m/s² gegenüber −13,16 m/s² der Näherung). Die maximale Kolbenbeschleunigung tritt am oberen Totpunkt auf und ist wegen des (1+λ)-Terms größer als am unteren.
Drehmoment und reduziertes Trägheitsmoment
Die Kolbenkraft F erzeugt über die schräg stehende Schubstange eine Tangentialkraft an der Kurbel und damit das statische Drehmoment:
Die oszillierende Masse m ruft die Trägheitskraft m·a hervor, die analog ein dynamisches Drehmoment beisteuert; das Gesamtdrehmoment ist die Summe aus beiden Anteilen:
Für die Antriebs- und Schwungradauslegung ist zusätzlich das reduzierte Trägheitsmoment wichtig, das die auf die Kurbelwelle bezogene Massenwirkung beschreibt:
Rechenbeispiel
Ein Kurbeltrieb mit Kurbelradius r = 50 mm und Schubstangenlänge l = 200 mm (λ = 0,25) läuft mit n = 1500 1/min, also ω = 157,08 rad/s. Die Umfangsgeschwindigkeit des Kurbelzapfens ist v_U = ω·r = 7,85 m/s.
Am oberen Totpunkt (φ = 0°) ist die Kolbenbeschleunigung maximal: a = ω²·r·(1+λ) = 157,08²·0,05·1,25 ≈ 1542 m/s². Diese hohe Beschleunigung ist der Grund, warum die freien Massenkräfte schnelllaufender Kurbeltriebe konstruktiv beherrscht werden müssen.
Bei einer Kolbenkraft von F = 5000 N und einer oszillierenden Masse von m = 1,2 kg liefert der Rechner den kompletten Drehmomentverlauf über den Umlauf. Das statische Moment ist bei etwa φ = 75° maximal, während der dynamische Anteil in der Nähe der Totpunkte dominiert - die Überlagerung ergibt den für Motor- und Schwungradauslegung maßgeblichen Verlauf.
Häufige Fragen
Warum die exakte β-Formel statt der λ-Näherung?
Die Näherung a ≈ ω²·r·(cos φ + λ·cos 2φ) entwickelt den Pleulwinkel nur bis zur ersten Harmonischen und wird mit wachsendem λ = r/l ungenau. Die exakte Rechnung über β = asin(λ·sin φ) gilt für jedes λ < 1 ohne Fehlerterm. Bei φ = 90° und λ = 1/3 liefert die exakte Formel −13,96 m/s², die Näherung nur −13,16 m/s² - dieser Unterschied wächst mit λ weiter an.
Wo liegt die maximale Kolbenbeschleunigung?
Am oberen Totpunkt (φ = 0°), weil sich dort die Grund- und die durch die Schubstange verursachte zweite Harmonische addieren: a_max ≈ ω²·r·(1+λ). Am unteren Totpunkt (φ = 180°) subtrahieren sie sich zu ω²·r·(1−λ), der Betrag ist dort kleiner. Genau diese Asymmetrie liefert die exakte Rechnung korrekt, die reine Grundschwingung nicht.
Was bedeutet das reduzierte Trägheitsmoment J_red?
J_red = m·(v/ω)² ist das auf die Kurbelwelle bezogene Massenträgheitsmoment der oszillierenden Masse. Es schwankt über den Umlauf zwischen null (in den Totpunkten, v = 0) und einem Maximum in Kurbelstellungen quer zur Zylinderachse. Für die Schwungrad- und Ungleichförmigkeitsrechnung wird es zum konstanten Anteil der rotierenden Massen addiert.
Welche Vorzeichen haben Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung?
Der Kolbenweg s wird ab dem oberen Totpunkt positiv in Richtung unterer Totpunkt gezählt (0 … 2r). Die Geschwindigkeit ist in der ersten Halbdrehung positiv (Kolben läuft weg), in der zweiten negativ. Die Beschleunigung ist an den Totpunkten am größten und wechselt dazwischen das Vorzeichen; sie zeigt jeweils zur Kurbelwellenmitte, wenn der Kolben abgebremst wird.
Berücksichtigt der Rechner die Masse der Schubstange?
Nein, das Modell setzt eine rein oszillierende Punktmasse m am Kolben an (starre, masselose Schubstange). In der Praxis wird die Schubstange in einen oszillierenden und einen rotierenden Massenanteil aufgeteilt; der oszillierende Anteil ist zur Kolbenmasse zu addieren und hier als m einzugeben. Der rotierende Anteil gehört zu den umlaufenden Massen und wird separat ausgewuchtet.
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