Zug/Druck-Stab & Wärmespannung berechnen
Berechnen Sie Normalspannung, Dehnung und Längenänderung eines gerade beanspruchten Stabs sowie die Wärmespannung bei vollständig behinderter Dehnung. Betriebsart wählen, Querschnitt als Fläche oder Durchmesser eingeben, Werkstoff samt Ausdehnungskoeffizient setzen - der Rechner liefert den Sicherheitsnachweis gegen die Streckgrenze mit Ampelbewertung, live mit jeder Eingabe.
Berechnung
Modell: einachsiger, prismatischer Zug/Druck-Stab, linear-elastisch nach Hooke, konstante Temperatur über den Querschnitt. Elastischer Spannungsnachweis mit globaler Sicherheit gegen die Streckgrenze. Kein Knick-, Kerb-, Ermüdungs- oder Kriechnachweis. Dimensionierungswerkzeug für den Maschinen- und Vorrichtungsbau.
Ergebnisse
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Formeln und Grundlagen
Hookesches Gesetz und Sicherheit
Der einachsig auf Zug oder Druck beanspruchte Stab folgt dem Hookeschen Gesetz: die Normalspannung ist gleichmäßig über den Querschnitt verteilt:
Daraus ergeben sich die Dehnung und die Längenänderung:
Zug wird positiv, Druck negativ gezählt. Die vorhandene Sicherheit gegen Fließen ist:
Sie wird gegen die geforderte Sicherheit S_erf geprüft und als Ampel dargestellt.
Wärmespannung
Eine Temperaturänderung ΔT dehnt den frei beweglichen Stab, ohne dass eine Spannung entsteht:
Wird diese Dehnung dagegen vollständig behindert, etwa durch zwei starre Widerlager, baut sich die Wärmespannung auf:
Das negative Vorzeichen bedeutet: eine Erwärmung (ΔT > 0) erzeugt Druck, eine Abkühlung Zug. Bemerkenswert ist, dass die Wärmespannung nicht von der Länge oder vom Querschnitt abhängt, sondern nur von E-Modul, Ausdehnungskoeffizient und Temperaturhub.
Kombinierte Beanspruchung
Sind Kraft und behinderte Wärmedehnung gleichzeitig wirksam, werden beide Anteile überlagert:
So kann eine Zugkraft durch eine Erwärmung teilweise oder ganz kompensiert werden, oder eine Abkühlung addiert sich zur Zugbelastung. Der Rechner weist die Anteile getrennt und die maßgebende Gesamtspannung aus und prüft diese gegen die Streckgrenze.
Rechenbeispiel
Ein Zugstab mit A = 100 mm² aus S235 (Rp = 235 N/mm²) trägt eine Kraft von 10 000 N über eine Länge von 1000 mm. Die Normalspannung beträgt σ = 10 000/100 = 100 N/mm², die Dehnung ε = 100/210 000 = 4,76·10⁻⁴ und die Längenänderung ΔL = 0,4762 mm. Die Sicherheit gegen Fließen ist S = 235/100 = 2,35 - der Nachweis ist mit S_erf = 1,5 erfüllt.
Wird derselbe Stab statt mechanisch belastet um ΔT = 50 K erwärmt und seine Dehnung durch starre Widerlager verhindert (α = 12·10⁻⁶ 1/K), entsteht eine Druck-Wärmespannung von σ_th = -210 000 · 12·10⁻⁶ · 50 = -126 N/mm²; das Minus ist die Druckrichtung, dem Betrag nach sind es 126 N/mm². Frei gedehnt hätte sich der Stab um ΔL_th = 12·10⁻⁶ · 1000 · 50 = 0,6 mm verlängert.
Wirken beide Fälle zusammen, ergibt sich σ_ges = 100 − 126 = −26 N/mm²: die Zugkraft wird durch die Erwärmung überkompensiert, der Stab steht netto unter leichtem Druck. Das Beispiel zeigt, warum Wärmespannungen im Maschinenbau nicht vernachlässigt werden dürfen - sie können die mechanische Belastung deutlich übersteigen.
Häufige Fragen
Warum hängt die Wärmespannung nicht von der Länge ab?
Weil sich die freie Wärmedehnung ε_th = α·ΔT und die zur Rückstellung nötige mechanische Dehnung genau aufheben müssen. Die resultierende Spannung σ_th = -E·α·ΔT enthält weder Länge noch Querschnitt. Länger wird nur die freie Dehnung ΔL_th = α·L·ΔT, nicht aber die Spannung bei verhinderter Dehnung.
Wann entsteht überhaupt eine Wärmespannung?
Nur wenn die Wärmedehnung behindert wird. Ein frei beweglicher Stab dehnt sich spannungsfrei aus. Erst wenn Widerlager, angrenzende Bauteile oder ein Temperaturgradient die Dehnung ganz oder teilweise unterbinden, baut sich eine Spannung auf. In der Praxis liegt der reale Fall meist zwischen frei und voll behindert.
Was bedeutet das Vorzeichen von Kraft und Temperatur?
Zug wird positiv, Druck negativ gerechnet. Eine positive Kraft erzeugt Zug. Bei verhinderter Dehnung erzeugt eine Erwärmung (ΔT > 0) Druck, also eine negative Spannung, eine Abkühlung dagegen Zug. Die maßgebende Gesamtspannung ist die vorzeichenrichtige Summe beider Anteile.
Gilt die Rechnung auch für Druckstäbe?
Für die Spannung und die Stauchung ja. Bei Druck ist jedoch zusätzlich die Knickung zu prüfen, die von Länge, Lagerung und Flächenträgheitsmoment abhängt und hier nicht enthalten ist. Der Rechner weist bei Druckbeanspruchung darauf hin. Für den Knicknachweis den Knickstab-Rechner verwenden.
Welcher Ausdehnungskoeffizient ist einzusetzen?
Der mittlere lineare Wärmeausdehnungskoeffizient im betrachteten Temperaturbereich. Für Baustahl liegt er bei etwa 12·10⁻⁶ 1/K, für nichtrostenden Austenit bei rund 16·10⁻⁶ 1/K und für Aluminium bei etwa 23·10⁻⁶ 1/K. Die Werkstoffauswahl setzt passende Richtwerte, die frei überschrieben werden können.
Ist der Nachweis ein vollständiger Festigkeitsnachweis?
Nein. Es ist ein elastischer Spannungsnachweis mit globaler Sicherheit gegen die Streckgrenze für den einachsigen Fall. Kerbwirkung, mehrachsige Spannungszustände, Ermüdung, Knickung und Kriechen bei hohen Temperaturen sind nicht berücksichtigt und gegebenenfalls gesondert nachzuweisen.
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