Vergleichsspannung berechnen (GEH / von Mises)
Führen Sie einen mehrachsigen Spannungszustand auf eine einachsige Vergleichsspannung zurück und weisen Sie ihn gegen die Streckgrenze nach. Wählen Sie zwischen dem ebenen Spannungszustand (sigma_x, sigma_y, tau_xy) und dem kombinierten Stab-/Wellenfall (Normalspannung aus Zug/Biegung plus Schubspannung aus Torsion) – der Rechner liefert GEH, SH und NH, die Hauptspannungen, den Mohrschen Kreis und die vorhandene Sicherheit mit Ampelbewertung, live mit jeder Eingabe.
Vergleichsspannungs-Rechner
Modell: statischer Fließnachweis über eine Festigkeitshypothese (GEH, SH oder NH) im ebenen Spannungszustand (sigma_3 = 0). Bezugsgröße ist die frei wählbare Streckgrenze R_p. Kein Ermüdungs-, Kerb- oder Stabilitätsnachweis. Für den detaillierten Dauerfestigkeitsnachweis umlaufender Wellen den Wellen-Rechner nach DIN 743 verwenden.
Ergebnisse
Berechnung läuft …
Formeln und Grundlagen
Die Vergleichsspannung überführt einen mehrachsigen Spannungszustand in eine gedachte einachsige Spannung sigma_v, die dieselbe Werkstoffanstrengung erzeugt und direkt mit der Streckgrenze R_p verglichen werden kann. Für den kombinierten Stab- oder Wellenquerschnitt mit Normalspannung sigma (aus Zug oder Biegung) und Schubspannung tau (aus Torsion oder Querkraft) gelten die geschlossenen Formen: GEH sigma_v = √(sigma² + 3·tau²), SH sigma_v = √(sigma² + 4·tau²) und NH sigma_v = 0,5·sigma + 0,5·√(sigma² + 4·tau²). Die drei Hypothesen unterscheiden sich nur im Vorfaktor der Schubspannung und in der Behandlung der Hauptspannungen.
Für den allgemeinen ebenen Spannungszustand mit sigma_x, sigma_y und tau_xy lautet die Gestaltänderungsenergiehypothese sigma_v = √(sigma_x² − sigma_x·sigma_y + sigma_y² + 3·tau_xy²). Die Hauptspannungen folgen aus dem Mohrschen Kreis mit Mittelpunkt (sigma_x + sigma_y)/2 und Radius √(((sigma_x − sigma_y)/2)² + tau_xy²): sigma_1,2 = (sigma_x + sigma_y)/2 ± Radius. Die maximale Schubspannung tau_max entspricht dem Radius des Kreises. Im ebenen Spannungszustand ist die dritte Hauptspannung sigma_3 = 0 – dieser Nullwert ist für die Schubspannungshypothese bedeutsam, wenn sigma_1 und sigma_2 dasselbe Vorzeichen haben.
Die Schubspannungshypothese (Tresca) setzt sigma_v gleich der größten Differenz der drei Hauptspannungen, sigma_v = max(|sigma_1 − sigma_2|, |sigma_1 − sigma_3|, |sigma_2 − sigma_3|) mit sigma_3 = 0. Die Normalspannungshypothese (Rankine) setzt sigma_v gleich der betragsgrößten Hauptspannung. Aus der maßgebenden Vergleichsspannung ergibt sich die vorhandene Sicherheit gegen Fließen S = R_p/sigma_v; sie wird mit der geforderten Sicherheit S_erf verglichen und als Ampel bewertet.
Rechenbeispiel
Ein Wellenabsatz überträgt gleichzeitig ein Biegemoment und ein Torsionsmoment. Am maßgebenden Punkt der Randfaser wirken eine Normalspannung sigma = 100 N/mm² aus der Biegung und eine Schubspannung tau = 50 N/mm² aus der Torsion. Der Werkstoff hat eine Streckgrenze R_p = 355 N/mm², gefordert ist S_erf = 1,5.
Nach der GEH ist sigma_v = √(100² + 3·50²) = √17500 = 132,3 N/mm². Die Schubspannungshypothese liefert etwas höher sigma_v = √(100² + 4·50²) = 141,4 N/mm², die Normalspannungshypothese sigma_v = 50 + 0,5·√(100² + 4·50²) = 120,7 N/mm². Die Hauptspannungen sind sigma_1 = 120,7 N/mm² und sigma_2 = −20,7 N/mm², die maximale Schubspannung tau_max = 70,7 N/mm².
Mit der GEH als maßgebender Hypothese folgt die vorhandene Sicherheit S = 355/132,3 = 2,68. Das ist deutlich größer als S_erf = 1,5 – der Nachweis ist erfüllt (grün). Wählt man stattdessen die konservativere SH, sinkt die Sicherheit auf S = 355/141,4 = 2,51; die Bewertung bleibt grün. Das Beispiel zeigt den typischen Unterschied: die SH liegt bei kombinierter Beanspruchung rund 7 bis 15 Prozent auf der sicheren Seite gegenüber der GEH.
Häufige Fragen
Wann verwende ich GEH, SH oder NH?
Die GEH (von Mises) beschreibt zähe, duktile Werkstoffe wie Baustahl oder Vergütungsstahl am genauesten und ist der Standard im Maschinenbau. Die SH (Tresca) liefert bei kombinierter Beanspruchung eine etwas höhere Vergleichsspannung und liegt damit konservativ auf der sicheren Seite. Die NH (Normalspannungshypothese) gilt für spröde Werkstoffe wie Grauguss oder gehärteten Stahl, bei denen das Bauteil durch die größte Zughauptspannung versagt.
Worin unterscheiden sich GEH und SH zahlenmäßig?
Bei reiner Schubbeanspruchung liefert die GEH sigma_v = √3·tau ≈ 1,73·tau, die SH sigma_v = 2·tau. Die SH liegt hier also rund 15 Prozent höher und damit konservativer. Bei einachsigem Zug sind beide identisch. Für kombinierte Zug/Biege- und Torsionsbeanspruchung liegt die Abweichung zwischen den beiden Hypothesen typisch bei 7 bis 15 Prozent.
Was ist der ebene Spannungszustand und wann liegt er vor?
Der ebene Spannungszustand liegt vor, wenn die Spannungen in einer Ebene wirken und senkrecht dazu keine Spannung auftritt (sigma_3 = 0) – typisch für dünne Bleche, Behälterwände oder freie Oberflächen. Er wird über sigma_x, sigma_y und tau_xy beschrieben. Der Stab-/Wellenfall ist der Sonderfall sigma_y = 0 dieses Zustands.
Wie berechne ich die Hauptspannungen?
Die Hauptspannungen sind die Extremwerte der Normalspannung, in deren Schnittrichtung keine Schubspannung wirkt. Sie folgen aus dem Mohrschen Kreis: sigma_1,2 = (sigma_x + sigma_y)/2 ± √(((sigma_x − sigma_y)/2)² + tau_xy²). Der erste Term ist der Mittelpunkt, der Wurzelterm der Radius und zugleich die maximale Schubspannung tau_max.
Beziehe ich die Sicherheit auf R_p oder R_m?
Der Fließbeginn wird auf die Streckgrenze R_p (bzw. R_p0,2 bei Werkstoffen ohne ausgeprägte Streckgrenze) bezogen: S = R_p/sigma_v. Für den Nachweis gegen Bruch bei spröden Werkstoffen oder gegen die statische Höchstlast wird stattdessen die Zugfestigkeit R_m angesetzt. Der Rechner arbeitet mit einer frei eingebbaren Bezugsspannung, standardmäßig der Streckgrenze.
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