Vergleichsspannung berechnen (GEH / von Mises)
Führen Sie einen mehrachsigen Spannungszustand auf eine einachsige Vergleichsspannung zurück und weisen Sie ihn gegen die Streckgrenze nach. Wählen Sie zwischen dem ebenen Spannungszustand (σ_x, σ_y, τ_xy) und dem kombinierten Stab-/Wellenfall (Normalspannung aus Zug/Biegung plus Schubspannung aus Torsion) - der Rechner liefert GEH, SH und NH, die Hauptspannungen, den Mohrschen Kreis und die vorhandene Sicherheit mit Ampelbewertung, live mit jeder Eingabe.
Berechnung
Modell: statischer Fließnachweis über eine Festigkeitshypothese (GEH, SH oder NH) im ebenen Spannungszustand (σ_3 = 0). Bezugsgröße ist die frei wählbare Streckgrenze R_p. Kein Ermüdungs-, Kerb- oder Stabilitätsnachweis. Für den detaillierten Dauerfestigkeitsnachweis umlaufender Wellen den Wellen-Rechner nach DIN 743 verwenden.
Ergebnisse
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Formeln und Grundlagen
Vergleichsspannung bei Stab und Welle
Die Vergleichsspannung überführt einen mehrachsigen Spannungszustand in eine gedachte einachsige Spannung σ_v, die dieselbe Werkstoffanstrengung erzeugt und direkt mit der Streckgrenze R_p verglichen werden kann. Für den kombinierten Stab- oder Wellenquerschnitt mit Normalspannung σ (aus Zug oder Biegung) und Schubspannung τ (aus Torsion oder Querkraft) gelten die geschlossenen Formen:
Die drei Hypothesen unterscheiden sich nur im Vorfaktor der Schubspannung und in der Behandlung der Hauptspannungen.
Ebener Spannungszustand und Hauptspannungen
Für den allgemeinen ebenen Spannungszustand mit σ_x, σ_y und τ_xy lautet die Gestaltänderungsenergiehypothese:
Die Hauptspannungen folgen aus dem Mohrschen Kreis mit Mittelpunkt und Radius:
Die maximale Schubspannung τ_max entspricht dem Radius des Kreises. Im ebenen Spannungszustand ist die dritte Hauptspannung σ_3 = 0 - dieser Nullwert ist für die Schubspannungshypothese bedeutsam, wenn σ_1 und σ_2 dasselbe Vorzeichen haben.
Schubspannungshypothese, Normalspannungshypothese und Sicherheit
Die Schubspannungshypothese (Tresca) setzt σ_v gleich der größten Differenz der drei Hauptspannungen:
Die Normalspannungshypothese (Rankine) setzt σ_v gleich der betragsgrößten Hauptspannung. Aus der maßgebenden Vergleichsspannung ergibt sich die vorhandene Sicherheit gegen Fließen:
Sie wird mit der geforderten Sicherheit S_erf verglichen und als Ampel bewertet.
Rechenbeispiel
Ein Wellenabsatz überträgt gleichzeitig ein Biegemoment und ein Torsionsmoment. Am maßgebenden Punkt der Randfaser wirken eine Normalspannung σ = 100 N/mm² aus der Biegung und eine Schubspannung τ = 50 N/mm² aus der Torsion. Der Werkstoff hat eine Streckgrenze R_p = 355 N/mm², gefordert ist S_erf = 1,5.
Nach der GEH ist σ_v = √(100² + 3·50²) = √17500 = 132,3 N/mm². Die Schubspannungshypothese liefert etwas höher σ_v = √(100² + 4·50²) = 141,4 N/mm², die Normalspannungshypothese σ_v = 50 + 0,5·√(100² + 4·50²) = 120,7 N/mm². Die Hauptspannungen sind σ_1 = 120,7 N/mm² und σ_2 = −20,7 N/mm², die maximale Schubspannung τ_max = 70,7 N/mm².
Mit der GEH als maßgebender Hypothese folgt die vorhandene Sicherheit S = 355/132,3 = 2,68. Das ist deutlich größer als S_erf = 1,5 - der Nachweis ist erfüllt (grün). Wählt man stattdessen die konservativere SH, sinkt die Sicherheit auf S = 355/141,4 = 2,51; die Bewertung bleibt grün. Das Beispiel zeigt den typischen Unterschied: die SH liegt bei kombinierter Beanspruchung rund 7 bis 15 Prozent auf der sicheren Seite gegenüber der GEH.
Häufige Fragen
Wann verwende ich GEH, SH oder NH?
Die GEH (von Mises) beschreibt zähe, duktile Werkstoffe wie Baustahl oder Vergütungsstahl am genauesten und ist der Standard im Maschinenbau. Die SH (Tresca) liefert bei kombinierter Beanspruchung eine etwas höhere Vergleichsspannung und liegt damit konservativ auf der sicheren Seite. Die NH (Normalspannungshypothese) gilt für spröde Werkstoffe wie Grauguss oder gehärteten Stahl, bei denen das Bauteil durch die größte Zughauptspannung versagt.
Worin unterscheiden sich GEH und SH zahlenmäßig?
Bei reiner Schubbeanspruchung liefert die GEH σ_v = √3·τ ≈ 1,73·τ, die SH σ_v = 2·τ. Die SH liegt hier also rund 15 Prozent höher und damit konservativer. Bei einachsigem Zug sind beide identisch. Für kombinierte Zug/Biege- und Torsionsbeanspruchung liegt die Abweichung zwischen den beiden Hypothesen typisch bei 7 bis 15 Prozent.
Was ist der ebene Spannungszustand und wann liegt er vor?
Der ebene Spannungszustand liegt vor, wenn die Spannungen in einer Ebene wirken und senkrecht dazu keine Spannung auftritt (σ_3 = 0) - typisch für dünne Bleche, Behälterwände oder freie Oberflächen. Er wird über σ_x, σ_y und τ_xy beschrieben. Der Stab-/Wellenfall ist der Sonderfall σ_y = 0 dieses Zustands.
Wie berechne ich die Hauptspannungen?
Die Hauptspannungen sind die Extremwerte der Normalspannung, in deren Schnittrichtung keine Schubspannung wirkt. Sie folgen aus dem Mohrschen Kreis: σ_1,2 = (σ_x + σ_y)/2 ± √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²). Der erste Term ist der Mittelpunkt, der Wurzelterm der Radius und zugleich die maximale Schubspannung τ_max.
Beziehe ich die Sicherheit auf R_p oder R_m?
Der Fließbeginn wird auf die Streckgrenze R_p (bzw. R_p0,2 bei Werkstoffen ohne ausgeprägte Streckgrenze) bezogen: S = R_p/σ_v. Für den Nachweis gegen Bruch bei spröden Werkstoffen oder gegen die statische Höchstlast wird stattdessen die Zugfestigkeit R_m angesetzt. Der Rechner arbeitet mit einer frei eingebbaren Bezugsspannung, standardmäßig der Streckgrenze.
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