Balkenbiegung berechnen
Berechnen Sie Auflagerkräfte, Momentenverlauf, Biegelinie und Biegespannung gerader Balken nach der technischen Biegetheorie (Euler-Bernoulli). Lagerung und Lastfall wählen, Querschnitt parametrisch eingeben oder I und W direkt vorgeben – der Rechner liefert den doppelten Nachweis gegen Streckgrenze und Durchbiegungskriterium mit Ampelbewertung, live mit jeder Eingabe.
Balken-Rechner (Biegetheorie)
Einfeldträger – Einzellast mittigModell: gerader, prismatischer Balken nach Euler-Bernoulli (Theorie 1. Ordnung, linear-elastisch, statische Last, Biegung um die Hauptachse). Kein Stabilitäts- und kein Ermüdungsnachweis; Eigengewicht wird nicht automatisch angesetzt. Dimensionierungswerkzeug für den Maschinen- und Vorrichtungsbau, kein baurechtlicher Nachweis (dafür Eurocode 3). Für umlaufende Wellen den Wellen-Rechner nach DIN 743 verwenden.
Ergebnisse
Berechnung läuft …
Formeln und Grundlagen
Grundlage ist die linearisierte Biegelinien-Differentialgleichung der Euler-Bernoulli-Theorie: die Krümmung der Balkenachse ist proportional zum örtlichen Biegemoment, E·I·w″(x) = M(x). Zweimalige Integration mit den Randbedingungen der Lagerung (Gelenk: w = 0, Einspannung: w = 0 und w′ = 0) liefert für jeden Standardlastfall eine geschlossene Lösung. Der Rechner wertet diese Segmentpolynome exakt aus – für den Einfeldträger mit mittiger Einzellast etwa M_max = F·L/4 und f_max = F·L³/(48·E·I), für die Gleichstreckenlast M_max = q·L²/8 und f_max = 5·q·L⁴/(384·E·I), für den Kragarm mit Endlast f_max = F·L³/(3·E·I).
Die Querschnittswerte werden aus den Abmessungen als zusammengesetzte Flächen berechnet (großes Rechteck minus Aussparung): beim Rechteck I_y = b·h³/12 und W_y = b·h²/6, beim Rundstab I = π·d⁴/64 und W = π·d³/32, analog für Rohr, Rechteckrohr und doppelt-symmetrisches I-Profil. Die parametrische I-Profil-Rechnung ohne Ausrundungsradien liegt etwa 4 bis 5 Prozent unter den Katalogwerten gewalzter IPE-Profile und ist damit konservativ. Wichtig ist die Rolle der beiden Kennwerte: die Durchbiegung hängt vom Flächenträgheitsmoment I ab, die Spannung vom Widerstandsmoment W – beide werden getrennt ausgewiesen und können auch direkt eingegeben werden.
Der Spannungsnachweis vergleicht die maximale Biegespannung σ_b = |M|_max/W_y mit der zulässigen Spannung R_e/S_erf; die vorhandene Sicherheit ist S_vorh = R_e/σ_b. Beim beidseitig eingespannten Träger unter Streckenlast ist dabei das Einspannmoment q·L²/12 maßgebend, nicht das Feldmoment q·L²/24. Der Durchbiegungsnachweis prüft f_max gegen f_zul = L/k mit wählbarem Kriterium (üblich L/300 für allgemeine Träger, L/500 bei empfindlichem Aufbau, L/150 für Kragarme). Bei außermittiger Einzellast liegt das Durchbiegungsmaximum nicht unter der Last, sondern im längeren Segment bei x = √((L²−b²)/3) – der Rechner gibt beide Werte aus.
Rechenbeispiel
Ein Rundstab mit Durchmesser 50 mm aus S355 (R_e = 355 N/mm²) liegt als Einfeldträger auf 2000 mm Stützweite und trägt mittig eine Einzellast von 5000 N. Die Querschnittswerte sind A = 1963,5 mm², I = 306 796 mm⁴ und W = 12 272 mm³; beide Auflagerkräfte betragen 2500 N.
Das maximale Biegemoment in Feldmitte ist M_max = F·L/4 = 2,5·10⁶ Nmm. Daraus folgt die Biegespannung σ_b = M_max/W = 203,7 N/mm² und die Sicherheit S_vorh = 355/203,7 = 1,74 – der Spannungsnachweis ist mit S_erf = 1,5 erfüllt. Die maximale Durchbiegung in Feldmitte beträgt f_max = F·L³/(48·E·I) = 12,93 mm, die Neigung an den Auflagern 19,4 mrad (1,11°).
Gegen das Kriterium L/300 = 6,67 mm ist die Durchbiegung jedoch nicht erfüllt (Auslastung 194 Prozent). Das Beispiel zeigt den typischen Fall im Maschinenbau: nicht die Spannung, sondern die Steifigkeit ist maßgebend – hier hilft ein höherer Querschnitt (I wächst mit h³) mehr als ein festerer Werkstoff.
Häufige Fragen
Worin unterscheiden sich Flächenträgheitsmoment I und Widerstandsmoment W?
I beschreibt die Steifigkeit des Querschnitts und bestimmt die Durchbiegung (f ~ 1/I), W beschreibt die Spannungsausnutzung der Randfaser und bestimmt die Biegespannung (σ = M/W). Ein häufiger Fehler ist σ = M/I. Beim doppelt-symmetrischen Querschnitt gilt W = 2·I/h mit der Querschnittshöhe h.
Warum ist oft die Durchbiegung maßgebend und nicht die Spannung?
Weil die Durchbiegung mit L³ bzw. L⁴ wächst, die Spannung aber nur mit L. Bei längeren Trägern ist der Steifigkeitsnachweis daher fast immer kritischer. Ein festerer Werkstoff hilft dann nicht, weil der E-Modul aller Stähle praktisch gleich ist – nur ein größeres Flächenträgheitsmoment (mehr Bauhöhe) reduziert die Durchbiegung wirksam.
Wo liegt die maximale Durchbiegung bei außermittiger Einzellast?
Nicht unter der Last, sondern im längeren Feldabschnitt bei x = √((L²−b²)/3) vom lastferneren Auflager. Das Maximum liegt aber nie weiter als etwa 0,077·L von der Feldmitte entfernt, weshalb die Mittendurchbiegung höchstens rund 3 Prozent abweicht. Die Durchbiegung direkt unter der Last kann dagegen deutlich kleiner sein; der Rechner gibt beide Werte aus.
Für welche Balken gilt die Rechnung?
Für gerade, prismatische Balken mit konstantem Querschnitt unter statischer Last, linear-elastisch und mit kleinen Verformungen (Theorie 1. Ordnung). Die Euler-Bernoulli-Theorie vernachlässigt die Schubverformung; als Faustregel sollte L/h ≥ 10 sein, darunter warnt der Rechner. Bei f_max > L/50 ist die Kleinwinkelannahme verletzt, auch dann erscheint eine Warnung.
Wie realistisch ist die ideale Einspannung?
Ideale Einspannungen sind selten: geschraubte Stirnplatten oder kurze Einspannlängen liegen zwischen Einspannung und Gelenklagerung. Die reale Durchbiegung liegt deshalb zwischen den beiden Grenzfällen – bei Streckenlast bis Faktor 5 (q·L⁴/384 gegenüber 5·q·L⁴/384). Im Zweifel beide Fälle rechnen und den ungünstigeren ansetzen.
Ersetzt der Rechner einen baurechtlichen Nachweis?
Nein. Der Rechner ist ein Dimensionierungswerkzeug für den Maschinen- und Vorrichtungsbau mit elastischem Spannungsnachweis und globaler Sicherheit gegen die Streckgrenze. Tragwerke des Bauwesens sind nach Eurocode 3 mit Teilsicherheitsbeiwerten, Stabilitätsnachweisen (Kippen, Beulen) und geregelten Lastannahmen nachzuweisen.