Druckbehälter & Rohr (Kesselformel, Lamé)
Berechnen Sie Tangential-, Axial- und Radialspannung sowie die erforderliche Wanddicke von Druckbehältern und Rohren unter Innendruck. Dünnwandig mit der Kesselformel (Membrantheorie) für Zylinder und Kugel, dickwandig mit den Lamé-Gleichungen. Der Rechner bildet die Vergleichsspannung nach GEH und Tresca und weist die Sicherheit gegen Fließen mit Ampel aus – live mit jeder Eingabe. Vordimensionierung, keine zertifizierte Auslegung nach AD 2000 oder EN 13445.
Druckbehälter- & Rohr-Rechner
Vordimensionierung
Dieser Rechner liefert Grundspannungen und eine erste Wanddicke. Eine zertifizierte Auslegung nach AD 2000 oder EN 13445 (Sicherheitsbeiwerte, Schweißnahtfaktor, Zuschläge, Warmfestigkeit, Böden und Stutzen) ist nicht enthalten.
Modell: rotationssymmetrischer Behälter bzw. Rohr unter statischem Innendruck, linear-elastisch. Kesselformel (Membran) für dünne Wände, Lamé für dicke Wände. Kein Nachweis von Böden, Stutzen, Schweißnähten, Außendruck (Beulen) oder Ermüdung. Vordimensionierung für den Maschinenbau, keine zertifizierte Druckgeräteauslegung nach AD 2000 oder EN 13445.
Ergebnisse
Berechnung läuft …
Formeln und Grundlagen
Bei dünnwandigen Behältern (Faustregel D/s ≥ 20) darf die Wand als Membran betrachtet werden: die Spannung ist über die Wanddicke praktisch konstant und die Radialspannung vernachlässigbar. Für den geschlossenen Zylinder unter Innendruck p folgt aus dem Kräftegleichgewicht am Längs- und am Querschnitt die Tangential- oder Umfangsspannung σ_t = p·D/(2·s) und die halb so große Axialspannung σ_ax = p·D/(4·s), mit dem Innendurchmesser D und der Wanddicke s. Die Kugelschale trägt in beide Richtungen gleich: σ = p·D/(4·s). Nach der Spannung aufgelöst ergibt sich die erforderliche Wanddicke s = p·D/(2·σ_zul) für den Zylinder und s = p·D/(4·σ_zul) für die Kugel.
Bei dickwandigen Rohren (D/s < 20) ist die Spannung nicht mehr konstant über die Wand, sondern nimmt von innen nach außen ab. Die Lamé-Gleichungen liefern für Innendruck p, Innenradius r_i und Außenradius r_a an der maßgebenden Innenfaser die maximale Tangentialspannung σ_t = p·(r_a²+r_i²)/(r_a²−r_i²) und die Radialspannung σ_r = −p (Druck). Zur Außenfaser hin fällt die Radialspannung auf null, die Tangentialspannung auf σ_t = 2·p·r_i²/(r_a²−r_i²). Bei geschlossenen Enden kommt die konstante Axialspannung σ_ax = p·r_i²/(r_a²−r_i²) hinzu.
Aus den drei Hauptspannungen wird die Vergleichsspannung gebildet: nach der Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH, von Mises) σ_v = √(½·[(σ_t−σ_ax)²+(σ_ax−σ_r)²+(σ_r−σ_t)²]) und nach der Schubspannungshypothese (SH, Tresca) σ_v = σ_max − σ_min. An der Innenfaser des dickwandigen Rohres ist σ_v(SH) = σ_t − σ_r = 2·p·r_a²/(r_a²−r_i²). Der Nachweis gegen Fließen vergleicht die vorhandene Sicherheit S = R_e/σ_v mit der geforderten Sicherheit S_erf; die Ampel zeigt grün ab S_erf, gelb ab 1 und rot darunter.
Rechenbeispiel
Ein zylindrischer Behälter mit Innendurchmesser D = 500 mm und Wanddicke s = 5 mm steht unter einem Innendruck von p = 1 N/mm² (10 bar). Wegen D/s = 100 ist er klar dünnwandig, die Kesselformel gilt. Die Umfangsspannung beträgt σ_t = p·D/(2·s) = 1·500/(2·5) = 50 N/mm², die Axialspannung σ_ax = 25 N/mm².
Mit σ_r ≈ 0 folgt die Vergleichsspannung nach GEH zu σ_v = √(50²−50·25+25²) = 43,3 N/mm². Für einen Kesselstahl mit R_e = 235 N/mm² ergibt sich die Sicherheit S = 235/43,3 = 5,4 – bei S_erf = 1,5 also reichlich Reserve. Die rein rechnerisch erforderliche Wanddicke wäre s = p·D/(2·σ_zul) = 500/(2·157) = 1,6 mm; die gewählten 5 mm decken zusätzlich Zuschläge und Fertigung ab.
Ein dickwandiges Hydraulikrohr mit r_i = 50 mm und r_a = 70 mm unter p = 10 N/mm² (100 bar) zeigt dagegen den Lamé-Fall: σ_t,max an der Innenfaser = 10·(70²+50²)/(70²−50²) = 30,8 N/mm², σ_r = −10 N/mm². Die Vergleichsspannung nach Tresca ist σ_v = σ_t − σ_r = 40,8 N/mm² – deutlich größer als die tangentiale Spitze allein, weil der Innendruck als dritte Hauptspannung mitwirkt.
Häufige Fragen
Wann dünnwandig (Kesselformel), wann dickwandig (Lamé)?
Als Faustregel gilt die Kesselformel für D/s ≥ 20 bzw. r_a/r_i ≤ 1,1. Dann ist die Spannung nahezu konstant über die Wand und die Membrantheorie ausreichend genau. Bei dickeren Wänden fällt die Tangentialspannung von innen nach außen deutlich ab und die Radialspannung ist nicht mehr vernachlässigbar – hier liefern die Lamé-Gleichungen die richtigen Spitzenwerte an der Innenfaser.
Warum ist die Umfangsspannung doppelt so groß wie die Axialspannung?
Das folgt aus zwei getrennten Gleichgewichten am Zylinder. Am Längsschnitt trägt der Druck über die projizierte Fläche D·L gegen zwei Wandstreifen 2·s·L, das ergibt σ_t = p·D/(2·s). Am Querschnitt drückt p auf die Kreisfläche gegen die Ringfläche π·D·s, das ergibt σ_ax = p·D/(4·s). Die Umfangsspannung ist deshalb maßgebend – Längsnähte an Zylindern sind höher beansprucht als Rundnähte.
GEH oder Tresca – welche Vergleichsspannung ansetzen?
Beide sind zulässig. Die Schubspannungshypothese (Tresca) ist konservativer und liegt im dickwandigen Fall etwa 15 Prozent über der GEH; viele Regelwerke für Druckgeräte arbeiten damit. Die Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH, von Mises) passt besser zu zähen Stählen und nutzt den Werkstoff etwas weiter aus. Der Rechner gibt beide Werte aus; die Sicherheit wird nach GEH gebildet.
Was bedeuten geschlossene und offene Enden?
Ein Behälter mit Böden oder Deckeln (geschlossene Enden) überträgt den Druck auf die Stirnflächen und erzeugt dadurch eine Axialspannung längs der Wand. Ein durchströmtes Rohr ohne Endkappen (offene Enden) hat keine solche Axialspannung. Da die Axialspannung eine der drei Hauptspannungen ist, beeinflusst diese Wahl die Vergleichsspannung – der Rechner berücksichtigt sie über den Schalter.
Ersetzt der Rechner eine Auslegung nach AD 2000 oder EN 13445?
Nein. Der Rechner ist ein Werkzeug zur Vordimensionierung und liefert die Grundspannungen und eine erste Wanddicke. Eine zertifizierte Auslegung nach AD 2000-Regelwerk oder EN 13445 berücksichtigt zusätzlich Sicherheitsbeiwerte, den Schweißnahtfaktor, Zuschläge für Abnutzung und Fertigung, die Warmfestigkeit bei Betriebstemperatur sowie Böden, Stutzen und zyklische Belastung. Diese Nachweise sind hier nicht enthalten.