Zylinderkraft nach ISO 15552 und ISO 6020-2 mit Knicknachweis
Legen Sie doppeltwirkende Pneumatik- und Hydraulikzylinder aus: Aus Kolbendurchmesser, Stangendurchmesser, Betriebsdruck und Wirkungsgrad folgen die theoretische und die effektive Druck- und Zugkraft. Der Rechner ermittelt zusätzlich den benötigten Druck für eine geforderte Kraft samt passender Normbaugröße, führt den Knicknachweis der Kolbenstange nach Euler und Tetmajer für vier Befestigungsarten samt Drucknachweis gegen die Streckgrenze und berechnet bei Pneumatik den Luftverbrauch je Doppelhub in Normlitern. Die Normreihen nach ISO 15552 (Pneumatik) und ISO 6020-2/6022 (Hydraulik) sind hinterlegt, live mit jeder Eingabe.
Berechnung
Modell: doppeltwirkender Zylinder mit einseitiger Kolbenstange, statische Betrachtung. Der Gegendruck auf der Rückseite ist pauschal im Wirkungsgrad enthalten. Knicknachweis mit globaler Sicherheit nach Euler und Tetmajer, gekappt an der Streckgrenze, gerechnet gegen die theoretische Druckkraft; dazu der Drucknachweis σ_d = F/A gegen R_e. Die Kolbenstange gilt als gerader, mittig gedrückter Stab ohne Vorverformung und ohne Führungskräfte aus dem Zylinderrohr. Biegung aus Eigengewicht bei horizontalen Langhubzylindern ist nicht erfasst. Dynamik ist nicht Teil des Rechners. Der Luftverbrauch ist isotherm gerechnet (Boyle-Mariotte); die Endlagendämpfung ist nicht Teil des Rechners.
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Formeln und Grundlagen
Theoretische und effektive Kraft
Beim Ausfahren wirkt der Betriebsdruck auf die volle Kolbenfläche A_K = π/4·D², beim Einfahren nur auf die Ringfläche A_R = π/4·(D² − d²), weil die Kolbenstange einen Teil der Fläche belegt. Die theoretische Kraft ist Druck mal Fläche:
Als Merkregel gilt F in N gleich p in bar mal A in cm² mal 10. Dichtungs- und Führungsreibung erfasst der Wirkungsgrad:
Benötigter Druck für die Sollkraft
Ist eine Sollkraft gefordert, liefert das Umstellen der Kraftformel den benötigten Druck:
Zusätzlich schlägt der Rechner die kleinste Normbaugröße vor, deren effektive Druckkraft die Sollkraft beim eingestellten Betriebsdruck erreicht. Bei Pneumatik bewertet eine Ampel den Lastgrad F_soll/F_D,th: Bis etwa 0,7 bleibt genug Kraftreserve für eine sichere, zügige Bewegung, darüber wird der Zylinder träge - in der Praxis wählt man die Baugröße deshalb 25 bis 50 Prozent größer als rechnerisch nötig.
Knicknachweis nach Euler und Tetmajer
Die ausgefahrene Kolbenstange ist ein Druckstab und wird auf Knicken geprüft. Der Rechner betrachtet dazu konservativ einen Stab mit Stangendurchmesser über die gesamte freie Länge l zwischen den Anlenkpunkten. Aus der Befestigungsart folgt der Knicklängenbeiwert β (Gelenk/Gelenk: β = 1, der Standardfall; starr mit freiem Ende: β = 2; starr mit gelenkig geführter Last: β = 0,707; beidseitig starr: β = 0,5, wegen Zwangskräften nicht empfohlen). Mit L_k = β·l und dem Trägheitsradius i = d/4 folgt der Schlankheitsgrad λ = L_k/i. Welche Formel gilt, entscheidet die Grenzschlankheit λ_g des gewählten Stangenwerkstoffs:
Gewechselt wird dabei nicht beim Tafelwert λ_g, sondern beim Schnittpunkt beider Kurven: bei E295/E335/S355 liegt er bei λ = 85,8, bei S235 bei λ = 104,1. λ_g und die Tetmajer-Koeffizienten stammen aus zwei verschiedenen Quellen und passen nicht überall zusammen; zwischen 85,8 und 89 läge die Gerade bis zu 6,9 % über der Euler-Hyperbel. Über die kommt keine Knickspannung, denn im unelastischen Bereich gilt σ_k = π²·T_K/λ² mit dem Knickmodul T_K < E. Der Rechner liegt in diesem schmalen Band deshalb um bis zu 6,9 % auf der sicheren Seite gegenüber einer Handrechnung, die stur bei λ_g = 89 umschaltet.
In beiden Bereichen wird die Knickspannung an der Streckgrenze R_e gekappt - dort staucht die Stange, statt zu knicken. Die Knickkraft ist F_K = σ_k·A mit A = π/4·d², die Sicherheit S = F_K/F wird gegen die theoretische Druckkraft ohne Wirkungsgrad geführt und soll üblicherweise 3,5 bis 5 erreichen. Daraus folgen auch die zulässige freie Länge l_zul und - mit der Totlänge l_tot - der maximal zulässige Hub. Weil im Tetmajer-Bereich keine geschlossene Umkehrformel existiert, sucht der Rechner l_zul auf derselben Kurve, die er auch zeichnet.
Drucknachweis der Kolbenstange
Eine gedrungene Stange fließt, lange bevor Knicken maßgebend wird. Deshalb steht neben dem Knicknachweis ein zweites Kriterium mit eigener Ampel:
Wie wichtig das ist, zeigt ein Fall aus reinen Normwerten: Paar 32/14 nach ISO 6020-2 bei 400 bar und 150 mm freier Länge ergibt λ = 43. Reines Euler wies dort eine Sicherheit von 5,4 aus und zeigte grün, während die Stange bei 209 N/mm² Druckspannung liegt - mit E335 bleibt eine Knicksicherheit von 1,5 statt der geforderten 3,5.
Luftverbrauch je Doppelhub
Der Luftverbrauch eines doppeltwirkenden Pneumatikzylinders folgt aus dem je Doppelhub verschobenen Volumen:
Auf Normzustand umgerechnet wird über das Absolutdruckverhältnis ε = (p + 1,013)/1,013 (isotherme Verdichtung nach Boyle-Mariotte):
Mit der Taktzahl n und einem Schadraum-Zuschlag von üblicherweise 5 bis 10 Prozent für Deckelräume, Schläuche und Verschraubungen ergibt sich der Verbrauch pro Minute Q = q_DH·n·f_S - die Grundlage für die Dimensionierung von Ventilen und Kompressor.
Rechenbeispiel
Ein Pneumatikzylinder der Baugröße Ø63/d20 nach ISO 15552 arbeitet mit 6 bar Überdruck, Wirkungsgrad 0,9. Die Kolbenfläche beträgt A_K = π/4·63² = 3117 mm², die Ringfläche A_R = π/4·(63² − 20²) = 2803 mm². Daraus folgen die theoretische Druckkraft F_D,th = 0,6 N/mm²·3117 mm² = 1870 N und die Zugkraft F_Z,th = 1682 N - genau die Katalogwerte des Herstellers. Effektiv stehen mit η = 0,9 rund 1683 N beim Ausfahren und 1514 N beim Einfahren zur Verfügung.
Knicknachweis: Der Zylinder ist über Gelenkauge und Gelenkkopf angelenkt (Standardfall Gelenk/Gelenk, β = 1), die freie Länge bei voll ausgefahrener Stange beträgt 500 mm, die Stange besteht aus E335. Die Knicklänge ist L_k = 500 mm, der Schlankheitsgrad λ = 500/(20/4) = 100 und damit über der Grenzschlankheit λ_g = 89 - es gilt Euler mit σ_k = π²·210 000/100² = 207,3 N/mm². Mit dem Stangenquerschnitt A = π/4·20² = 314 mm² folgt die Knickkraft F_K = 207,3·314 ≈ 65,1 kN. Gegen die theoretische Druckkraft 1870 N beträgt die Sicherheit S = 34,8 - weit über der geforderten Knicksicherheit 3,5. Umgekehrt gerechnet dürfte die freie Länge bei S = 3,5 bis zu 1577 mm betragen; erst darüber wird die Stange kritisch. Der Drucknachweis ist unkritisch: σ_d = 1870/314 = 5,95 N/mm² gegen R_e = 335 N/mm² ergibt S_d = 56.
Luftverbrauch: Bei 100 mm Hub verschiebt der Zylinder je Doppelhub V_DH = (3117 + 2803) mm²·100 mm = 0,59 Liter. Mit dem Kompressionsverhältnis ε = (6 + 1,013)/1,013 = 6,92 sind das q_DH = 4,10 Normliter je Doppelhub. Bei 10 Doppelhüben pro Minute und 5 Prozent Schadraum-Zuschlag ergibt sich ein Verbrauch von rund 43 Nl/min.
Häufige Fragen
Warum ist die Einfahrkraft kleiner als die Ausfahrkraft?
Beim Einfahren wirkt der Druck nur auf die Ringfläche A_R = π/4·(D² − d²), weil die Kolbenstange einen Teil der Kolbenfläche belegt. Die Zugkraft ist deshalb um das Flächenverhältnis φ = A_K/A_R kleiner als die Druckkraft - bei üblichen Normpaaren etwa 5 bis 20 Prozent, bei verstärkten Hydraulikstangen deutlich mehr.
Welchen Wirkungsgrad soll ich ansetzen?
Richtwerte nach Herstellerliteratur: Pneumatik 0,85 bis 0,95 (Voreinstellung 0,9), Hydraulik kolbenseitig 0,90 bis 0,95 (Voreinstellung 0,95), stangenseitig eher 0,80 bis 0,90, konservativ rechnen manche Hersteller mit 0,85. Der Wirkungsgrad deckt Dichtungs- und Führungsreibung ab; kleine Zylinder liegen am unteren, große am oberen Rand.
Welche Befestigungsart gehört zu welchem Knicklängenbeiwert?
Gelenkauge oder Schwenkzapfen mit gelenkig geführter Last ist der Standardfall der Praxis (β = 1). Ein starr montierter Zylinder mit frei beweglichem Stangenende ist der ungünstigste Fall (β = 2). Starre Montage mit gelenkig geführter Last ergibt β = 0,707. Beidseitig starr (β = 0,5) wird nicht empfohlen: Fluchtungsfehler erzeugen Zwangskräfte auf Stange und Führung - der Rechner zeigt dafür eine Warnung.
Warum rechnet der Knicknachweis ohne Wirkungsgrad?
Der Nachweis wird konservativ mit der theoretischen Druckkraft geführt. Die Reibung, die der Wirkungsgrad beschreibt, entlastet die Stange nicht, wenn der volle Druck ansteht - etwa beim Fahren auf einen Festanschlag. Zusätzlich konservativ wird die gesamte freie Länge als Stab mit dem Stangendurchmesser betrachtet, obwohl das Zylinderrohr steifer ist.
Warum muss ich den Stangenwerkstoff angeben?
Weil er entscheidet, welche Formel überhaupt gilt. Euler beschreibt nur das elastische Knicken oberhalb der Grenzschlankheit λ_g, und λ_g hängt vom Werkstoff ab: 105 bei S235, 89 bei E295/E335/S355. Darunter erreicht die Stange die Euler-Knickkraft nie, weil der Werkstoff vorher fließt - dort gilt die Tetmajer-Gerade. Zusätzlich liefert der Werkstoff die Streckgrenze R_e für die Kappung der Knickspannung und für den Drucknachweis. Zur Wahl stehen deshalb nur Werkstoffe mit belegter Streckgrenze nach EN 10025-2; der 16NiCr4 der Tetmajer-Tafel gehört nicht dazu, weil für ihn keine Quelle eine Streckgrenze nennt (er steht weiterhin im Knickungsrechner, wo R_e frei eingegeben wird). Voreingestellt ist E335: Eine hartverchromte Kolbenstange besteht in der Praxis aus vergütetem Stahl (C45E, 20MnV6, 42CrMo4) mit deutlich höherer Streckgrenze, die Rechnung liegt damit auf der sicheren Seite.
Wann ist nicht das Knicken maßgebend, sondern die Druckspannung?
Bei gedrungenen Stangen, also kurzer freier Länge und dickem Durchmesser. Ein Beispiel mit reinen Normwerten: Paar 32/14 nach ISO 6020-2 bei 400 bar und 150 mm freier Länge ergibt λ = 43. Ein reiner Euler-Nachweis wies dort eine Sicherheit von 5,4 aus und zeigte grün, obwohl die Stange mit 209 N/mm² Druckspannung belastet ist. Mit Tetmajer und E335 bleiben von der Knicksicherheit 1,5 statt der geforderten 3,5, und der Drucknachweis S_d = 335/209 = 1,6 liegt knapp über der Regelsicherheit 1,5. Deshalb führt der Rechner beide Nachweise mit eigener Ampel und meldet zusätzlich, in welchem Bereich gerechnet wurde.
Was bedeutet der Luftverbrauch in Normlitern?
Die im Zylinder verschobene Druckluft wird auf den Umgebungszustand zurückgerechnet, damit sie mit der Kompressorleistung vergleichbar ist. Umgerechnet wird über das Absolutdruckverhältnis ε = (p + 1,013)/1,013. Manche Kataloge rechnen vereinfacht mit p + 1 bar - der Unterschied liegt bei 6 bar nur um ein Prozent.
Reicht dieser Rechner für die Zylinderauswahl aus?
Für die statische Auslegung von Kraft, Baugröße, Stangenknickung und Luftverbrauch ja. Nicht erfasst sind Dynamik und Endlagendämpfung, Gegendruck auf der Abluftseite (pauschal im Wirkungsgrad enthalten), Biegung horizontaler Langhubzylinder aus Eigengewicht sowie Sonderbauformen wie einfachwirkende oder Teleskopzylinder. Bei Pneumatik hilft die Lastgrad-Ampel: Für zügige Bewegung den Lastgrad unter etwa 0,7 halten.
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