Stirnrad-Rechner: Geometrie und Tragfähigkeit
Berechnen Sie die komplette Verzahnungsgeometrie eines außenverzahnten Stirnradpaars (gerad- und schrägverzahnt, Bezugsprofil DIN 867) inklusive Profilverschiebung, Überdeckungsgrad und Unterschnitt-Prüfung – plus Tragfähigkeits-Schnellcheck mit den Sicherheiten SF (Zahnfuß) und SH (Flanke).
Stirnradpaar-Rechner
Verzahnungsgeometrie (αn = 20°, Bezugsprofil DIN 867)
Radpaar
- Achsabstand a
- 120 mm
- Null-Achsabstand ad
- 120 mm
- Stirnmodul mt
- 3 mm
- Betriebseingriffswinkel αwt
- 20°
- Profilüberdeckung εα
- 1,6708
- Sprungüberdeckung εβ
- 0
- Gesamtüberdeckung εγ
- 1,6708
- Übersetzung i
- 3
- Kopfkürzungsfaktor k (Ausweis)
- 0
- Kopfspiel c
- 0,75 mm
Rad 1
- Teilkreis d
- 60 mm
- Grundkreis db
- 56,3816 mm
- Kopfkreis da
- 66 mm
- Fußkreis df
- 52,5 mm
- Wälzkreis dw
- 60 mm
- Profilverschiebung x
- 0
- Ersatzzähnezahl zn
- 20
- Kopfzahndicke san
- 2,085 mm
Rad 2
- Teilkreis d
- 180 mm
- Grundkreis db
- 169,1447 mm
- Kopfkreis da
- 186 mm
- Fußkreis df
- 172,5 mm
- Wälzkreis dw
- 180 mm
- Profilverschiebung x
- 0
- Ersatzzähnezahl zn
- 60
- Kopfzahndicke san
- 2,357 mm
Skizze: Teilkreise (durchgezogen), Kopfkreise (gestrichelt) und Achsabstand
Tragfähigkeits-Schnellcheck (Anlehnung DIN 3990 / ISO 6336, Dauerfestigkeit)
Vereinfachte Methode: YFa/YSa über 30°-Tangente mit Kraftangriff am Zahnkopf und Yε, KV = 1,2 pauschal, KHβ/KFβ nach Qualitätstabelle, KHα = KFα = 1.
Werkstoffwerte sind Richtwerte aus Sekundärliteratur, keine Kurvenwerte nach ISO 6336-5.
Zahnkräfte
- Drehmoment T1
- 49,39 Nm
- Umfangskraft Ft
- 1.646,4 N
- Radialkraft Fr
- 599,3 N
- Axialkraft Fa
- 0 N
- Umfangsgeschwindigkeit v
- 4,56 m/s
Zahnfuß
- YFa (Rad 1 / Rad 2)
- 2,8 / 2,2863
- YSa (Rad 1 / Rad 2)
- 1,5525 / 1,7286
- Yε
- 0,6989
- Yβ
- 1
- σF0 (1 / 2)
- 41,68 / 37,9 N/mm²
- σF (1 / 2)
- 78,16 / 71,05 N/mm²
Flanke
- ZH
- 2,4946
- ZE
- 189,8 √(N/mm²)
- Zε
- 0,8811
- Zβ
- 1
- σH0
- 399,02 N/mm²
- σH
- 598,54 N/mm²
Kraftfaktoren
KA = 1,25 · KV = 1,2 · KHβ = 1,5 · KFβ = 1,25 · KHα = KFα = 1
Formeln und Grundlagen
Die Geometrie folgt der Evolventen-Grundkette: Aus Normalmodul mn, Zähnezahlen z1/z2 und Schrägungswinkel β ergeben sich Stirnmodul mt = mn/cos β, Teilkreise d = z·mt und Grundkreise db = d·cos αt. Die Profilverschiebungssumme legt über die Evolventenfunktion inv α = tan α − α den Betriebseingriffswinkel αwt fest, daraus folgt der Betriebs-Achsabstand a = ad·cos αt/cos αwt. Im Umkehrmodus bestimmt der Rechner aus einem vorgegebenen Achsabstand die erforderliche Profilverschiebungssumme x1 + x2.
Die Profilüberdeckung εα ist das Verhältnis von Eingriffsstrecke zu Eingriffsteilung und beschreibt, wie viele Zahnpaare im Mittel gleichzeitig tragen. Sie muss größer als 1 sein, üblich sind 1,1 bis 1,9 bei Geradverzahnung. Bei Schrägverzahnung kommt die Sprungüberdeckung εβ = b·sin β/(π·mn) hinzu. Der Rechner prüft außerdem Unterschnitt (Grenzzähnezahl, Mindest-Profilverschiebung), Spitzgrenze der Kopfzahndicke und das Kopfspiel. Die Kopfkreise werden ohne Kopfkürzung ausgegeben, der Kopfkürzungsfaktor k wird separat ausgewiesen.
Der Zahnfuß-Schnellcheck rechnet in Anlehnung an DIN 3990-3 / ISO 6336-3: Die Zahnfuß-Nennspannung σF0 = Ft/(b·mn)·YFa·YSa·Yε·Yβ verwendet den Formfaktor YFa und den Spannungskorrekturfaktor YSa aus dem 30°-Tangenten-Rechenweg der Methode B, angesetzt am Zahnkopf (Methode-C-Variante mit Überdeckungsfaktor Yε). Mit den Kraftfaktoren KA, KV, KFβ und KFα folgt die Sicherheit SF = σFlim·YST/σF mit YST = 2.
Der Flanken-Schnellcheck nach DIN 3990-2 / ISO 6336-2 modelliert die Hertzsche Pressung im Wälzpunkt: σH0 = ZH·ZE·Zε·Zβ·√(Ft/(d1·b)·(u+1)/u) mit Zonenfaktor ZH, Elastizitätsfaktor ZE (aus E-Modul und Querdehnzahl berechnet), Überdeckungsfaktor Zε und Schrägenfaktor Zβ. Die Sicherheit ist SH = σHlim/σH, maßgebend ist der weichere Werkstoff. Der Norm-Schalter berücksichtigt den Definitionsunterschied Zβ = √cos β (DIN 3990) bzw. 1/√cos β (ISO 6336).
Bewusste Vereinfachungen des Schnellchecks: Dynamikfaktor pauschal KV = 1,2 (gültig bis etwa v = 10 m/s), Breitenlastfaktoren KHβ/KFβ aus einer Qualitätsstufen-Tabelle, KHα = KFα = 1, Einzeleingriffsfaktor ZB/D = 1 und Dauerfestigkeit ohne Lebensdauer-, Schmierstoff- und Größenfaktoren. Die Werkstoffwerte σHlim/σFlim sind Richtwerte aus publizierten Streubändern, keine Kurvenwerte nach ISO 6336-5. Für einen dokumentierten Nachweis nach vollständiger Methode B ist die Norm heranzuziehen.
Rechenbeispiel
Referenzbeispiel: Ein geradverzahntes Radpaar mit mn = 3 mm, z1 = 20, z2 = 60 (u = 3), b = 40 mm überträgt P = 7,5 kW bei n1 = 1450 1/min. Daraus folgen T1 = 49,4 Nm, Ft = 1646 N und v = 4,56 m/s. Die Geometrie liefert εα = 1,67; für Rad 1 ergeben sich YFa = 2,80 und YSa = 1,55.
Mit KA = 1,25 (mäßige Stöße), KV = 1,2 und Qualität 7–8 (KHβ = 1,5 / KFβ = 1,25) sowie beiderseits 16MnCr5 einsatzgehärtet (σHlim = 1470, σFlim = 430 N/mm²) folgt: σF = 78 N/mm² und SF = 11,0 am Ritzel, σH = 598 N/mm² und SH = 2,46 an der Flanke. Typisch für einsatzgehärtete Räder ist die Flanke das maßgebende Kriterium, der Zahnfuß hat große Reserven – beide Sicherheiten liegen deutlich über den Mindestwerten.
Häufige Fragen
Was bewirkt die Profilverschiebung?
Die Profilverschiebung x verschiebt das Bezugsprofil radial nach außen (x > 0) oder innen (x < 0). Positive Werte vermeiden Unterschnitt bei kleinen Zähnezahlen, verdicken den Zahnfuß und erlauben es, einen vorgegebenen Achsabstand exakt einzuhalten. Der Rechner bestimmt im Modus „x aus Achsabstand“ die erforderliche Summe x1 + x2 automatisch.
Wann tritt Unterschnitt auf und wie vermeide ich ihn?
Beim Bezugsprofil DIN 867 mit αn = 20° liegt die theoretische Grenzzähnezahl bei etwa 17 Zähnen (praktisch 14). Darunter schneidet das Werkzeug den Zahnfuß an und schwächt ihn. Abhilfe schafft eine positive Profilverschiebung von mindestens xmin = 1 − z·sin²αn/2; der Rechner warnt und nennt den erforderlichen Wert.
Was sagt der Überdeckungsgrad aus?
Die Profilüberdeckung εα gibt an, wie viele Zahnpaare im Mittel gleichzeitig im Eingriff sind. Werte unter 1 bedeuten Eingriffsunterbrechung und sind unzulässig, unter 1,1 wird es kritisch (Geräusch, Stöße). Bei Schrägverzahnung erhöht die Sprungüberdeckung εβ die Laufruhe zusätzlich; die Gesamtüberdeckung ist εγ = εα + εβ.
Wie genau ist der Tragfähigkeits-Schnellcheck?
Die Geometriefaktoren YFa/YSa werden exakt über die 30°-Tangente berechnet, die Kraftfaktoren sind bewusst vereinfacht (KV = 1,2 pauschal, KHβ/KFβ nach Qualitätstabelle, KHα = KFα = 1) und es gilt Dauerfestigkeit. Das Ergebnis eignet sich für Vorauslegung und Plausibilisierung. Für einen belastbaren, dokumentierten Nachweis sind die vollständige Methode B nach DIN 3990 / ISO 6336 und Werkstoffwerte nach ISO 6336-5 erforderlich.
Worin unterscheiden sich DIN 3990 und ISO 6336?
Beide Normen teilen dasselbe Grundkonzept. Praktisch relevant im Rechner ist der Schrägenfaktor der Flanke: DIN 3990 verwendet Zβ = √cos β, ISO 6336 (ab 2006) den Kehrwert 1/√cos β – bei β = 15° immerhin rund 3,5 % Unterschied auf σH0. Weitere Unterschiede (YB, YDT, YNT-Verlauf) betreffen Sonderfälle außerhalb dieses Schnellchecks.
Woher stammen die Werkstoffkennwerte σHlim und σFlim?
Die hinterlegten Werte sind Richtwerte aus publizierten Streubändern der Sekundärliteratur (z. B. 16MnCr5 einsatzgehärtet: σHlim ≈ 1470, σFlim ≈ 430 N/mm²). Die verbindlichen, härte- und qualitätsabhängigen Kurven stehen in ISO 6336-5 bzw. DIN 3990-5 und sind für eine Endauslegung maßgebend.
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