Flächenträgheitsmoment & Widerstandsmoment
Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment I und das Widerstandsmoment W beliebiger Querschnitte. Wählen Sie eine Grundform (Rechteck, Kreis, Kreisrohr, Hohlrechteck) und lesen Sie A, I_x, I_y und W_x live ab - oder setzen Sie im Steiner-Assembler beliebige Rechtecke übereinander zu einem zusammengesetzten Profil zusammen. Der Rechner ermittelt den gemeinsamen Schwerpunkt, das Gesamt-Flächenträgheitsmoment und das maßgebende Widerstandsmoment aus dem Randfaserabstand, live mit jeder Eingabe.
Berechnung
Reiner Kennwertrechner für Flächenmomente 2. Grades homogener, ebener Querschnitte. Berechnet werden Fläche, Flächenträgheitsmoment I und Widerstandsmoment W um die Biegeachse. Kein Spannungs- oder Durchbiegungsnachweis - dafür den Balken-Rechner verwenden. Die Zusammensetzung nimmt achsparallele Rechtecke mit gemeinsamer y-Achse an.
Ergebnisse
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Formeln und Grundlagen
Flächenträgheitsmoment I
Das Flächenträgheitsmoment I (Flächenmoment 2. Grades, Einheit mm⁴) beschreibt die Biegesteifigkeit eines Querschnitts um eine Achse durch den Schwerpunkt:
Für die Grundformen ergeben sich geschlossene Formeln (Hohlrechteck als Differenz aus Außen- und Innenrechteck):
Maßgebend für die Durchbiegung ist stets die Achse mit dem kleineren I; beim Rechteck wächst I_x mit der dritten Potenz der Höhe (h³), weshalb die Orientierung des Querschnitts entscheidend ist.
Widerstandsmoment W
Das Widerstandsmoment (Einheit mm³) verknüpft I mit dem Randfaserabstand e und bestimmt die Biegespannung:
Bei doppelt-symmetrischen Grundformen liegt der Schwerpunkt in der Mitte, sodass e = h/2 bzw. e = d/2 gilt:
Ein häufiger Fehler ist σ = M/I - richtig ist die Division durch W, nicht durch I.
Satz von Steiner
Zusammengesetzte Querschnitte werden aus Teil-Rechtecken über den Satz von Steiner gebildet. Zuerst ergibt sich der gemeinsame Schwerpunkt aus:
Danach das Gesamt-Flächenträgheitsmoment mit dem Abstand d_i = y_i − y_s jedes Teils zum Gesamtschwerpunkt:
Der Steiner-Anteil A·d² dominiert bei weit außen liegenden Flächen und erklärt, warum Doppel-T- und Kastenprofile so biegesteif sind. Das Widerstandsmoment folgt aus dem größeren der beiden Randfaserabstände e_o und e_u, da dort die höchste Randspannung auftritt.
Widerstandsmoment berechnen
Das Widerstandsmoment W (genauer: axiales Widerstandsmoment, Einheit mm³) ist die Querschnittsgröße, die über die Biegespannung entscheidet. Es folgt aus dem Flächenträgheitsmoment und dem Randfaserabstand e, also dem Abstand vom Schwerpunkt zur äußersten Faser: W = I/e. Damit wird aus einem Biegemoment unmittelbar eine Spannung, σ = M/W.
Bei doppelt-symmetrischen Querschnitten liegt der Schwerpunkt in der Mitte, sodass sich geschlossene Formeln ergeben: W_x = b·h²/6 für das Rechteck, W = π·d³/32 für den Kreis und W = π·(D⁴−d⁴)/(32·D) für das Kreisrohr. Bei unsymmetrischen Querschnitten gibt es zwei Randfaserabstände; maßgebend ist der größere, weil dort die höchste Randspannung auftritt.
Damit trennen sich die beiden Nachweise sauber: Das Flächenträgheitsmoment I bestimmt die Durchbiegung, das Widerstandsmoment W die Spannung. Ein Träger kann steif genug und trotzdem überlastet sein, und umgekehrt. Der Rechner gibt für jede Grundform und jeden zusammengesetzten Querschnitt A, I_x, I_y, die Randfaserabstände und das maßgebende W_x aus.
Rechenbeispiel
Ein Rechteckquerschnitt mit b = 100 mm und h = 200 mm hat die Fläche A = 20 000 mm². Das Flächenträgheitsmoment um die starke Achse ist I_x = b·h³/12 = 100·200³/12 = 66 666 667 mm⁴, das Widerstandsmoment W_x = b·h²/6 = 100·200²/6 = 666 667 mm³.
Ein Kreisquerschnitt mit d = 100 mm liefert I = π·d⁴/64 = 4 908 739 mm⁴ und W = π·d³/32 = 98 175 mm³. Bei gleicher Fläche ist das Rechteck also deutlich biegesteifer, wenn die Höhe in Lastrichtung liegt.
Setzt man zwei Rechtecke 100 × 20 mm mit ihren Schwerpunkten bei y = +60 mm und y = −60 mm zusammen (ein flacher Doppelgurt), ergibt der Satz von Steiner I = 2·(100·20³/12 + 2000·60²) = 14 533 333 mm⁴. Der Eigenanteil der schlanken Rechtecke ist winzig; fast das gesamte I stammt aus dem Steiner-Term A·d² - das Prinzip jedes I-Trägers.
Häufige Fragen
Wie berechne ich das Widerstandsmoment?
Allgemein über W = I/e: Flächenträgheitsmoment geteilt durch Randfaserabstand. Für die Grundformen gibt es geschlossene Formeln, weil der Schwerpunkt in der Mitte liegt: Rechteck W_x = b·h²/6, Kreis W = π·d³/32, Kreisrohr W = π·(D⁴−d⁴)/(32·D). Bei zusammengesetzten Querschnitten wird zuerst der gemeinsame Schwerpunkt bestimmt, daraus I über den Satz von Steiner und schließlich W mit dem größeren der beiden Randfaserabstände. Der Rechner führt diesen Weg für beide Fälle aus.
Worin unterscheiden sich Flächenträgheitsmoment I und Widerstandsmoment W?
I (in mm⁴) beschreibt die Biegesteifigkeit und bestimmt die Durchbiegung (f ~ 1/I). W (in mm³) beschreibt die Spannungsausnutzung der Randfaser und bestimmt die Biegespannung σ = M/W. Beide hängen über den Randfaserabstand e zusammen: W = I/e. Verwechseln Sie sie nicht - σ = M/I ist falsch.
Um welche Achse wird gerechnet?
Die Biegeachse x liegt waagerecht durch den Schwerpunkt; die Höhe h steht senkrecht dazu. I_x ist damit das für die Biegung um diese Achse maßgebende Moment. Für die Grundformen wird zusätzlich I_y um die dazu senkrechte Achse ausgewiesen. Für die Biegung ist immer die Achse mit dem kleineren I kritisch.
Wie funktioniert der Satz von Steiner?
Er verschiebt das Flächenträgheitsmoment von der Schwerpunktachse eines Teils auf eine parallele Bezugsachse: I = I_eigen + A·d². Dabei ist I_eigen das Eigenträgheitsmoment des Teils um seinen eigenen Schwerpunkt, A seine Fläche und d der Abstand zum Gesamtschwerpunkt. Der Rechner ermittelt zuerst y_s und summiert dann alle Teilbeiträge.
Warum sind I-Träger so biegesteif?
Weil ihre Gurte weit vom Schwerpunkt entfernt liegen und der Steiner-Anteil A·d² quadratisch mit dem Abstand wächst. Material am Rand trägt viel mehr zur Steifigkeit bei als Material in der Mitte. Deshalb konzentriert man Fläche in den Gurten und verbindet sie mit einem dünnen Steg.
Welches Widerstandsmoment gilt bei unsymmetrischen Querschnitten?
Maßgebend ist das kleinere Widerstandsmoment, also W = I/e mit dem größeren der beiden Randfaserabstände e_o (oben) und e_u (unten). An dieser Randfaser tritt die höchste Biegespannung auf. Der Rechner gibt beide Randfaserabstände aus und bildet W aus dem größeren.
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