Planetengetriebe-Auslegung (Willis-Gleichung)
Legen Sie ein einfaches Minus-Planetengetriebe aus: Zähnezahl Sonne und Hohlrad sowie die Anzahl der Planeten liefern zusammen mit der gewählten Betriebsart (welches Element feststeht) über die Willis-Gleichung die Standübersetzung, die Übersetzung, alle drei Wellendrehzahlen und optional das Abtriebsmoment - inklusive Prüfung von Montage- und Nachbarbedingung der Planeten.
Berechnung
24
Auslegungsbewertung als Näherung: Zahnfußtragfähigkeit und Profilverschiebung (ISO 6336) sowie die Lagerung von Steg und Planetenbolzen sind hier nicht enthalten.
Standübersetzung und Zähnezahlen
- Standübersetzung i0
- -3
- Zähnezahl Planet z_P
- 24
- Übersetzung i (Betriebsart)
- 4
Übersetzung und Abtrieb
- Abtriebsdrehzahl n_ab
- 375 1/min
- Drehrichtung Abtrieb
- gleich zum Antrieb
Wellendrehzahlen
- Drehzahl Sonne n_Sonne
- 1.500 1/min
- Drehzahl Steg n_Steg
- 375 1/min
- Drehzahl Hohlrad n_Hohlrad
- 0 1/min
Skizze: Querschnitt Planetensatz (Sonne, Planeten, Hohlrad, Steg, schematisch)
Ihre Eingaben bleiben in Ihrem Browser - die Berechnung läuft lokal, ohne Übertragung an einen Server.
Formeln und Grundlagen
Aufbau und Standübersetzung
Ein einfaches Planetengetriebe besteht aus der zentralen Sonne (Außenverzahnung), p gleichmäßig verteilten Planeten (Außenverzahnung, im Eingriff mit Sonne und Hohlrad), dem Hohlrad (Innenverzahnung) und dem Steg, der die Planetenachsen trägt. Die Standübersetzung ist die Übersetzung Sonne/Hohlrad bei festgehaltenem Steg (Standgetriebe):
Das Minuszeichen folgt aus der Innenverzahnung des Hohlrads: Sonne und Hohlrad drehen bei feststehendem Steg gegensinnig. Die Zähnezahl der Planeten ergibt sich aus der Achsabstandsbedingung zu z_P = (zH - zS)/2 - die Differenz zH - zS muss daher geradzahlig sein, sonst ist keine ganzzahlige Planetenzähnezahl darstellbar.
Willis-Gleichung
Die kinematische Kopplung der drei Wellen (Sonne, Hohlrad, Steg) beschreibt die Willis-Gleichung:
Wird eines der drei Elemente festgehalten (Drehzahl 0), liefert die Willis-Gleichung direkt die Übersetzung der jeweiligen Betriebsart und damit alle drei Wellendrehzahlen aus einer gegebenen Antriebsdrehzahl.
Die drei Betriebsarten
Hohlrad fest (Antrieb Sonne, Abtrieb Steg) - die häufigste Bauform, große Untersetzung im positiven Sinn:
Sonne fest (Antrieb Hohlrad, Abtrieb Steg) - kleinere Übersetzung als bei feststehendem Hohlrad:
Steg fest (Antrieb Sonne, Abtrieb Hohlrad, Standgetriebe) - die Übersetzung entspricht direkt der Standübersetzung, mit Drehrichtungsumkehr:
Aus der Übersetzung folgt die Abtriebsdrehzahl n_ab = n_an/i und, sofern ein Antriebsmoment vorliegt, das Abtriebsmoment über den Wirkungsgrad eta je Stufe (Richtwert 0,97):
Montage- und Nachbarbedingung
Damit sich die p Planeten gleichmäßig und spielfrei zwischen Sonne und Hohlrad einbauen lassen, muss die Montagebedingung erfüllt sein:
Zusätzlich dürfen sich benachbarte Planeten bei ihrem Kopfkreis nicht überschneiden (vereinfachte Nachbar- bzw. Platzbedingung mit Kopfspiel):
Ist die Montagebedingung verletzt, lässt sich der gewählte Zähnezahlsatz mit dieser Planetenanzahl nicht gleichmäßig verteilt montieren (andere Planetenanzahl oder Zähnezahlen wählen). Ist die Nachbarbedingung verletzt, stoßen die Planeten am Kopfkreis zusammen - mehr Planeten reduzieren den nötigen Platz je Planet, mehr Zähne bei Sonne/Hohlrad schaffen ebenfalls Abhilfe.
Abgrenzung und mehrstufige Getriebe
Dieser Rechner behandelt ausschließlich die Kinematik nach Willis. Die Zahnfußtragfähigkeit, Grübchentragfähigkeit und Profilverschiebung der Verzahnung sind über den Stirnrad-Rechner nach ISO 6336 nachzuweisen, die Lagerung von Steg und Planetenbolzen separat. Bei mehrstufigen Planetengetrieben multiplizieren sich die Übersetzungen der Einzelstufen zur Gesamtübersetzung:
Rechenbeispiel
Referenzbeispiel: Ein Minus-Planetengetriebe mit Sonne zS = 24, Hohlrad zH = 72 und p = 3 Planeten. Die Planetenzähnezahl ist zP = (72-24)/2 = 24, die Standübersetzung i0 = -72/24 = -3. Die Montagebedingung (zS+zH)/p = 96/3 = 32 ist ganzzahlig erfüllt, die Nachbarbedingung (24+24)·sin(60°) = 41,6 > 24+2 = 26 ist ebenfalls erfüllt - beide Ampeln stehen auf grün.
Bei feststehendem Hohlrad (Antrieb Sonne, Abtrieb Steg) und einer Antriebsdrehzahl n_an = 1500 1/min ergibt sich die Übersetzung i = 1 + zH/zS = 1 + 72/24 = 4 und damit die Abtriebsdrehzahl n_ab = n_an/i = 1500/4 = 375 1/min am Steg. Bei einem Antriebsmoment von M_an = 10 Nm und eta = 0,97 folgt das Abtriebsmoment M_ab = 10·4·0,97 = 38,8 Nm.
Zum Vergleich der Betriebsarten mit denselben Zähnezahlen: Bei feststehender Sonne (Antrieb Hohlrad, Abtrieb Steg) ergibt sich eine deutlich kleinere Übersetzung i = 1 + zS/zH = 1 + 24/72 = 1,33. Bei feststehendem Steg (Standgetriebe, Antrieb Sonne, Abtrieb Hohlrad) ist i = i0 = -3 - das Minuszeichen zeigt die Drehrichtungsumkehr zwischen Sonne und Hohlrad an.
Häufige Fragen
Wie berechne ich die Übersetzung eines Planetengetriebes?
Zunächst die Standübersetzung i0 = -zH/zS aus den Zähnezahlen von Sonne und Hohlrad bestimmen. Anschließend liefert die Willis-Gleichung je nach festgehaltenem Element die tatsächliche Übersetzung: i = 1 - i0 bei feststehendem Hohlrad, i = 1 - 1/i0 bei feststehender Sonne, oder i = i0 bei feststehendem Steg (Standgetriebe). Die Abtriebsdrehzahl folgt dann aus n_ab = n_an/i.
Was ist die Standübersetzung eines Planetengetriebes?
Die Standübersetzung i0 ist die Übersetzung zwischen Sonne und Hohlrad, wenn der Steg gedanklich festgehalten wird (Standgetriebe) - i0 = -zH/zS. Sie ist negativ, weil Sonne und Hohlrad bei feststehendem Steg gegensinnig drehen (Außen- gegen Innenverzahnung). Aus der Standübersetzung folgen über die Willis-Gleichung alle Übersetzungen der drei praktisch genutzten Betriebsarten.
Warum werden meist drei Planeten verwendet?
Drei (oder mehr) gleichmäßig verteilte Planeten teilen die zu übertragende Last durch Momentenverzweigung auf mehrere parallele Zahneingriffe auf - das Getriebe überträgt bei gleicher Baugröße ein Vielfaches des Moments eines einfachen Stirnradpaars und läuft durch die symmetrische Lastverteilung radial nahezu kräftefrei auf der Sonnenwelle. Mehr Planeten erhöhen die Leistungsdichte weiter, sind aber durch die Nachbarbedingung (Platz am Kopfkreis) und die Montagebedingung begrenzt.
Was bedeutet die Montagebedingung bei Planetengetrieben?
Damit sich p Planeten in gleichen Winkelabständen zwischen Sonne und Hohlrad einbauen lassen, muss (zS+zH)/p eine ganze Zahl ergeben. Ist das nicht der Fall, passt die gewählte Planetenanzahl nicht zu den Zähnezahlen - entweder die Zähnezahlen von Sonne oder Hohlrad anpassen oder eine andere Planetenanzahl wählen. Zusätzlich muss zH - zS geradzahlig sein, damit überhaupt eine ganzzahlige Planetenzähnezahl zP = (zH-zS)/2 existiert.
Planetengetriebe oder Stirnradgetriebe - was ist der Unterschied?
Das Stirnradgetriebe überträgt die Last über ein einzelnes Zahnradpaar und baut bei hohen Momenten entsprechend groß und schwer. Das Planetengetriebe verteilt die Last auf p parallele Planeten (Momentenverzweigung), ist dadurch bei gleichem Moment deutlich kompakter und leichter, läuft koaxial (Antriebs- und Abtriebswelle fluchten) und erreicht mit einer Stufe größere Übersetzungen. Dafür ist die Verzahnungsgeometrie (Innenverzahnung Hohlrad, Planetenlagerung im Steg) aufwendiger und teurer in der Fertigung.
Wie berechne ich mehrstufige Planetengetriebe?
Jede Stufe wird zunächst einzeln wie ein einfaches Planetengetriebe nach Willis berechnet. Die Gesamtübersetzung mehrstufiger Getriebe ist das Produkt der Einzelübersetzungen: i_ges = i1·i2·…·in. Der Abtrieb einer Stufe ist dabei jeweils der Antrieb der nächsten Stufe; das Gesamtmoment ergibt sich analog aus dem Produkt der Einzelübersetzungen und dem Produkt der Wirkungsgrade aller Stufen.
Verwandte Tools
Übersetzung & Getriebe
Pro-ExportÜbersetzung i aus Zähnezahl, Durchmesser oder Drehzahlpaar und Umrechnung von Drehzahl, Drehmoment und Trägheit über die Stufe.
Zahnradberechnung ISO 6336
Pro-ExportTragfähigkeit von Stirnrädern nach ISO 6336 berechnen.
Kegelrad & Kegelradgetriebe
Pro-ExportGeradzahn-Kegelrad online berechnen: Teilkegelwinkel, Teil- und Mittelkreisdurchmesser, Kegellänge, Ersatzzähnezahl und Umfangskraft mit Skizze und Ampelbewertung.