Seilreibung berechnen (Euler-Eytelwein)
Berechnen Sie die Umschlingungsreibung eines Seils, Bremsbands oder Riemens um eine Trommel oder einen Poller. Reibwert und Umschlingungswinkel eingeben, eine der beiden Trumkräfte vorgeben - der Rechner liefert das Kräfteverhältnis e^(µ·α), die zweite Trumkraft, die übertragbare Umfangskraft F1 − F2 und optional die Rutschsicherheit mit Ampelbewertung, live mit jeder Eingabe.
Berechnung
Modell: Grenzfall des beginnenden Rutschens nach Euler-Eytelwein (Coulomb-Reibung, biegeschlaffes, dehnstarres Seil). Fliehkräfte und Riemenelastizität sind nicht berücksichtigt.
Ergebnisse
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Formeln und Grundlagen
Seilreibungsgesetz nach Euler-Eytelwein
Grundlage ist das Seilreibungsgesetz nach Euler und Eytelwein. Zwischen dem gespannten Lasttrum F1 und dem Leertrum F2 gilt im Grenzfall des beginnenden Gleitens:
Mit dem Reibwert µ der Paarung Seil/Trommel und dem Umschlingungswinkel α im Bogenmaß. Das Verhältnis ist unabhängig vom Trommeldurchmesser und wächst exponentiell mit dem Umschlingungswinkel: Wenige zusätzliche Windungen um einen Poller vervielfachen die haltbare Last, weshalb ein Seemann ein großes Schiff mit wenigen Umschlingungen halten kann.
Trumkräfte und übertragbare Umfangskraft
Aus dem Verhältnis folgt bei vorgegebener größerer Kraft F1 direkt die erforderliche Haltekraft F2, oder umgekehrt aus der Haltekraft F2 die maximal haltbare Last F1:
Die über die Umschlingung übertragbare Umfangs- oder Nutzkraft ist die Differenz der Trumkräfte:
Sie begrenzt beim Riementrieb das übertragbare Drehmoment und beim Bremsband die Bremskraft.
Rutschsicherheit und Modellgrenzen
Beim Nachweis wird die vorhandene übertragbare Umfangskraft F_t der erforderlichen Nutzkraft F_t,erf gegenübergestellt; die Rutschsicherheit ist:
Reicht die Umschlingung nicht aus, rutscht das Seil durch. Wirksame Stellgrößen sind der Umschlingungswinkel (mehrere Windungen um einen Poller) und der Reibwert (trockene, raue Paarung). Das Modell gilt für den Grenzfall des beginnenden Rutschens mit Coulomb-Reibung an einem biegeschlaffen, dehnstarren Seil; Fliehkräfte bei hoher Riemengeschwindigkeit und die Riemenelastizität (Dehnschlupf) sind nicht berücksichtigt.
Rechenbeispiel
Ein Seil ist mit einer halben Umschlingung (α = 180° = π) um einen Poller gelegt, der Reibwert beträgt µ = 0,3. Das Kräfteverhältnis ist damit e^(0,3·π) = 2,566. Am Lasttrum zieht eine Kraft von F1 = 1000 N.
Zum Halten der Last genügt am Leertrum eine Haltekraft von F2 = 1000/2,566 = 389,7 N. Die über die Umschlingung übertragbare Umfangskraft beträgt F_t = F1 − F2 = 610,3 N. Gegen eine erforderliche Nutzkraft von F_t,erf = 500 N ist die Rutschsicherheit damit S = 610,3/500 = 1,22: Bei einer geforderten Sicherheit S_erf = 1,5 bleibt die halbe Umschlingung grenzwertig.
Legt man das Seil einmal ganz herum (α = 360°), wie es der Rechner als Startbelegung zeigt, steigt das Verhältnis bereits auf e^(0,6·π) = 6,586; die nötige Haltekraft sinkt auf 152 N, die übertragbare Umfangskraft steigt auf 848 N und die Rutschsicherheit auf S = 1,70. Das zeigt die exponentielle Wirkung des Umschlingungswinkels: Jede weitere Windung reduziert die erforderliche Haltekraft um denselben Faktor.
Häufige Fragen
Was bedeuten Lasttrum und Leertrum?
Das Lasttrum F1 ist die größere der beiden Seilkräfte (die zu haltende oder ziehende Last), das Leertrum F2 die kleinere Haltekraft am anderen Ende. Es gilt immer F1 ≥ F2, im Grenzfall des Rutschens F1/F2 = e^(µ·α).
Warum hängt das Verhältnis nicht vom Trommeldurchmesser ab?
Maßgebend ist allein der Umschlingungswinkel, nicht die Länge des anliegenden Seils. Die Normalkraft je Bogenlänge steigt bei kleinerem Durchmesser zwar an, die anliegende Länge sinkt im gleichen Maß - beides hebt sich auf. Deshalb steht im Eytelwein-Gesetz nur der Winkel α.
Wie rechne ich mehrere Umschlingungen?
Der Umschlingungswinkel addiert sich: Eine volle Windung sind 360°, zwei Windungen 720° und so weiter. In Bogenmaß ist α = 2·π·n für n Windungen. Wegen der Exponentialfunktion wächst das haltbare Verhältnis mit jeder Windung um den gleichen Faktor e^(2·π·µ).
Gilt das Gesetz auch für Riementriebe?
Ja, für die übertragbare Umfangskraft im Grenzfall des Durchrutschens gilt dasselbe Verhältnis. Bei hoher Riemengeschwindigkeit mindern jedoch Fliehkräfte die Anpressung, und die Riemenelastizität führt zu Dehnschlupf. Dieser Rechner behandelt den reibungsbestimmten Grenzfall ohne Fliehkraft- und Elastizitätseinfluss.
Welche Reibwerte sind typisch?
Stahlseil auf Stahltrommel etwa 0,1 bis 0,2, Hanf- oder Kunstfaserseil auf Stahl 0,2 bis 0,3, Bremsband mit Reibbelag 0,3 bis 0,5, Flachriemen auf Guss 0,3 bis 0,4. Nässe, Fett oder polierte Oberflächen senken den Wert deutlich; im Zweifel konservativ (klein) ansetzen.
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