Torsion & Verdrehung berechnen
Berechnen Sie Torsionsschubspannung und Verdrehwinkel gerader Stäbe unter Torsionsmoment nach der St.-Venantschen Torsionstheorie. Querschnitt wählen – Vollkreis, Kreisrohr, dünnwandig geschlossenes Bredt-Profil oder Rechteck –, Moment, Länge und Schubmodul eingeben, der Rechner liefert W_t, I_t, tau und phi sowie den Schubnachweis gegen die Fließgrenze mit Ampelbewertung, live mit jeder Eingabe.
Torsions-Rechner (St.-Venant)
Modell: gerader, prismatischer Stab, reine Torsion nach St.-Venant (freie Verwölbung, linear-elastisch). Keine Wölbbehinderung, keine überlagerte Biegung, keine Kerbwirkung, kein Beul- oder Ermüdungsnachweis. Für umlaufende Wellen zusätzlich DIN 743 (Wellen-Rechner) verwenden.
Ergebnisse
Berechnung läuft …
Formeln und Grundlagen
Grundlage ist die St.-Venantsche Torsionstheorie der reinen Torsion bei freier Verwölbung: das Torsionsmoment T erzeugt eine Schubspannung tau = T/W_t und einen Verdrehwinkel phi = T·L/(G·I_t) über die Stablänge L. W_t ist das Torsionswiderstandsmoment (bestimmt die Spannung), I_t das Torsionsflächenmoment (bestimmt die Verdrehung), G der Schubmodul (Stahl ≈ 81000 N/mm²). Nur beim Kreis und Kreisrohr fällt I_t mit dem polaren Flächenträgheitsmoment I_p zusammen; bei allen anderen Querschnitten ist I_t kleiner, weil sich der Querschnitt verwölbt.
Die Querschnittswerte folgen aus geschlossenen Formeln. Vollkreis: W_t = π·d³/16 und I_t = π·d⁴/32. Kreisrohr: W_t = π·(D⁴−d⁴)/(16·D) und I_t = π·(D⁴−d⁴)/32. Dünnwandig geschlossene Hohlprofile nach den beiden Bredtschen Formeln: die Schubspannung ist über die Wandstärke näherungsweise konstant, tau = T/(2·A_m·t), also W_t = 2·A_m·t, und I_t = 4·A_m²/(∮ds/t), bei konstanter Wandstärke I_t = 4·A_m²·t/U. Dabei ist A_m die von der Wandmittellinie umschlossene Fläche und U deren Umfang.
Der Rechteckvollquerschnitt tordiert nach Saint-Venant mit Formfaktoren, die vom Seitenverhältnis abhängen: I_t = a·b³·(1/3 − 0,21·(b/a)·(1 − b⁴/(12·a⁴))) und W_t = a²·b²/(3·a + 1,8·b) mit langer Seite a und kurzer Seite b. Der Schubnachweis vergleicht die maximale Torsionsschubspannung tau mit der Schub-Fließgrenze tau_F = R_e/√3 nach von Mises; die vorhandene Sicherheit ist S_vorh = tau_F/tau. Der große Unterschied zu einfachen Rechnern liegt im geschlossenen dünnwandigen Profil: das Bredtsche Hohlprofil trägt Torsion um ein Vielfaches steifer und fester als ein offener Querschnitt gleicher Fläche.
Rechenbeispiel
Eine Vollwelle mit Durchmesser 40 mm aus Stahl (G = 81000 N/mm²) überträgt ein Torsionsmoment von 500 Nm über eine Länge von 1000 mm. Die Querschnittswerte sind W_t = π·40³/16 = 12566 mm³ und I_t = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴.
Daraus folgt die Torsionsschubspannung tau = T/W_t = 500000/12566 = 39,79 N/mm² und der Verdrehwinkel phi = T·L/(G·I_t) = 500000·1000/(81000·251327) = 0,02456 rad = 1,407°. Gegen die Schub-Fließgrenze tau_F = 355/√3 = 205 N/mm² einer S355-Welle ergibt sich eine vorhandene Sicherheit von rund 5 – der Nachweis ist deutlich erfüllt.
Ersetzt man die Vollwelle durch ein dünnwandig geschlossenes Quadratrohr mit 95 mm Mittellinien-Kantenlänge (A_m = 9025 mm²) und 5 mm Wandstärke unter 1000 Nm, so ist die Schubspannung nach Bredt tau = T/(2·A_m·t) = 1000000/(2·9025·5) = 11,08 N/mm². Das zeigt die Stärke geschlossener Hohlquerschnitte: bei geringer Masse tragen sie Torsion effizient – ein Fall, den einfache Rechner meist nicht abdecken.
Häufige Fragen
Worin unterscheiden sich Torsionsflächenmoment I_t und polares Flächenträgheitsmoment I_p?
Nur beim Kreis und Kreisrohr sind beide gleich, weil diese Querschnitte sich bei Torsion nicht verwölben. Bei allen anderen Querschnitten (Rechteck, offene und geschlossene Profile) ist das für die Verdrehung maßgebende I_t kleiner als I_p. Wer für ein Rechteck oder Hohlprofil mit I_p rechnet, überschätzt die Steifigkeit deutlich – der Rechner verwendet immer das korrekte I_t.
Was bedeuten die beiden Bredtschen Formeln?
Sie gelten für dünnwandig geschlossene Hohlprofile. Die 1. Bredtsche Formel gibt die über die Wandstärke konstante Schubspannung tau = T/(2·A_m·t) mit der von der Wandmittellinie umschlossenen Fläche A_m. Die 2. Bredtsche Formel liefert die Verdrehung über I_t = 4·A_m²/(∮ds/t), bei konstanter Wandstärke I_t = 4·A_m²·t/U. Wichtig ist A_m als Fläche der Mittellinie, nicht der Außenkontur.
Warum ist ein geschlossenes Hohlprofil so viel besser als ein offenes?
Im geschlossenen Profil läuft der Schubfluss als geschlossener Ring um den Hohlraum und erzeugt ein großes inneres Moment (Bredt). Ein offenes Profil (Schlitzrohr, U- oder L-Profil) kann diesen Ringfluss nicht bilden und ist bei Torsion um Größenordnungen weicher und höher beansprucht. Schon ein schmaler Längsschlitz verwandelt ein steifes Rohr in ein sehr torsionsweiches offenes Profil.
Welche Schub-Fließgrenze wird für den Nachweis angesetzt?
Der Rechner verwendet die Schubfließgrenze nach der Gestaltänderungsenergie-Hypothese (von Mises): tau_F = R_e/√3 ≈ 0,577·R_e. Alternativ liefert die Schubspannungshypothese (Tresca) tau_F = R_e/2 einen konservativeren Wert. Die vorhandene Sicherheit ist S_vorh = tau_F/tau, verglichen mit der geforderten Sicherheit S_erf.
Wofür gilt die Rechnung – und wo sind die Grenzen?
Für gerade, prismatische Stäbe unter reiner Torsion (St.-Venant) mit freier Verwölbung, linear-elastisch. Nicht berücksichtigt sind Wölbbehinderung (z.B. an Einspannungen offener Profile), überlagerte Biegung, Kerbwirkung an Absätzen und Nuten sowie örtliches Beulen dünnwandiger Querschnitte. Für umlaufende, dauerbeanspruchte Wellen ist zusätzlich ein Ermüdungsnachweis nach DIN 743 zu führen.
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