Kältemaschine und Wärmepumpe berechnen
Berechnen Sie den linkslaufenden Kaltdampfprozess einer Kompressionskälteanlage oder Wärmepumpe: Aus den vier Enthalpien, die Sie im log-p-h-Diagramm Ihres Kältemittels ablesen, folgen Massenstrom, Kälteleistung, Verdichterleistung und Verflüssigerleistung. Der Rechner gibt in beiden Betriebsarten die Leistungszahl der Kältemaschine und der Wärmepumpe aus, vergleicht sie mit dem Carnot-Prozess zwischen denselben Temperaturniveaus und bildet daraus den Gütegrad, live mit jeder Eingabe.
Berechnung
Kältemaschine: Nutzen ist die Kälteleistung im Verdampfer.
Gerechnet wird der Kaltdampfprozess aus vier Enthalpien, die Sie im log-p-h-Diagramm Ihres Kältemittels ablesen; ein Auswahlfeld für das Kältemittel gibt es deshalb nicht, der Rechner ist an keine Stoffdatenbank gebunden. Beide Leistungszahlen werden in jeder Betriebsart ausgegeben, weil dieselbe Anlage beide Nutzen liefert. Der Gütegrad wird an Erfahrungswerten eingeordnet: reale Kompressionskälteanlagen erreichen etwa 0,4 bis 0,6 des Carnot-Werts, darüber rechnet man im idealisierten Bereich. Das ist eine Einordnung, kein Nachweis gegen eine Norm.
Modell: stationärer Kaltdampfprozess aus vier abgelesenen Enthalpien, isenthalpe Drosselung, Rohrleitungen außerhalb der Saugleitung als wärme- und druckverlustfrei angenommen. Ausgegeben wird die innere Verdichterleistung, nicht die Kupplungs- oder Motorleistung; Antriebs- und Ventilatorleistungen sind in den Leistungszahlen nicht enthalten. Die Kennlinie über der Verdampfungstemperatur setzt den Gütegrad des Arbeitspunkts als konstant an. Auslegungs- und Vergleichswerkzeug, kein Ersatz für die Kennfelddaten des Verdichterherstellers.
Ergebnisse
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Formeln und Grundlagen
Die vier Zustände im log-p-h-Diagramm
Der Kaltdampfprozess wird nicht aus einer Stoffdatenbank gerechnet, sondern aus vier abgelesenen Enthalpien. In Strömungsrichtung sind das: h₁ am Verdampferaustritt (Sauggas, gegebenenfalls überhitzt), h₁* am Verdichtereintritt, h₂ am Verdichteraustritt (Heißgas) und h₃ für die Flüssigkeit vor der Drossel. Erwärmt sich das Sauggas in der Saugleitung nicht, ist h₁* = h₁. Die Drossel arbeitet isenthalp, deshalb ist h₃ zugleich die Enthalpie am Verdampfereintritt und ein fünfter Zustand wird nicht gebraucht:
Spezifische Größen aus den Enthalpien
Jede Komponente wird über die Enthalpiedifferenz an ihren eigenen Anschlüssen bilanziert. Das ist der fachliche Kern: Die Kälteleistung entsteht nur im Verdampfer, die Verdichterarbeit erst hinter der Saugleitung, und der Verflüssiger führt das Heißgas bis auf die Flüssigkeitsenthalpie zurück, enthält also Enthitzung, Kondensation und Unterkühlung:
Massenstrom und Leistungen
Die spezifische Kälteleistung q₀ verknüpft die Anlagengröße mit dem Kältemittelstrom. Ist die Kälteleistung aus der Kühllast vorgegeben, folgt der Massenstrom; steht der Verdichter schon fest, wird der Massenstrom vorgegeben und die Kälteleistung ist das Ergebnis. Der Ansaugvolumenstrom entsteht mit dem spezifischen Volumen v₁* am Verdichtereintritt und ist für die Baugröße des Verdichters maßgeblich:
Leistungszahlen und Energiebilanz
Die Leistungszahl setzt den Nutzen ins Verhältnis zum Aufwand. Nutzen ist bei der Kältemaschine die Kälteleistung im Verdampfer, bei der Wärmepumpe die Heizleistung im Verflüssiger; der Aufwand ist beide Male die Verdichterleistung:
Nimmt das Sauggas zwischen Verdampferaustritt und Verdichtereintritt zusätzlich Wärme auf, geht diese in den Verflüssiger, ohne den Verdichter zu belasten. Die Bilanz Q̇_c = Q̇₀ + P gilt dann nicht mehr, und ε_W liegt um mehr als eins über ε_K:
Carnot-Vergleich und Gütegrad
Der Carnot-Prozess zwischen denselben beiden Temperaturniveaus liefert die obere Schranke jeder Anlage. Verdampfungstemperatur T₀ und Verflüssigungstemperatur T_c sind dabei in Kelvin einzusetzen. Der Gütegrad η_G ordnet die erreichte Kältezahl in diesen Rahmen ein:
Beim Carnot-Prozess gilt ε_C,W = ε_C,K + 1 exakt, weil dort keine Wärme an der Saugleitung zufließt.
Rechenbeispiel
Eine Kompressionskälteanlage mit R134a soll 8 kW Kälteleistung bereitstellen. Die Verdampfungstemperatur beträgt t₀ = −10 °C, die Verflüssigungstemperatur t_c = +25 °C. Im log-p-h-Diagramm liest man ab: h₃ = 235 kJ/kg für die siedende Flüssigkeit vor der Drossel, h₁ = 392 kJ/kg für den trocken gesättigten Dampf am Verdampferaustritt und h₂ = 417 kJ/kg für das Heißgas nach isentroper Verdichtung, dazu v₁ = 0,100 m³/kg am Verdichtereintritt.
Damit ist q₀ = 392 − 235 = 157 kJ/kg und der Kältemittelstrom ṁ = 8/157 = 0,051 kg/s. Die Verdichterarbeit beträgt w = 417 − 392 = 25 kJ/kg, also P = 1,27 kW, und der Verflüssiger führt q_c = 417 − 235 = 182 kJ/kg ab, also Q̇_c = 9,3 kW. Der Verdichter saugt V̇ = 0,051 · 0,100 = 0,0051 m³/s an, das sind 18,3 m³/h. Die Leistungszahlen sind ε_K = 157/25 = 6,3 und ε_W = 182/25 = 7,3.
Carnot zwischen 263,15 K und 298,15 K ergibt ε_C,K = 263,15/35 = 7,52. Der Gütegrad des Beispiels beträgt damit η_G = 6,3/7,52 = 0,84. Er liegt über der Erfahrungsspanne 0,4 bis 0,6 realer Anlagen, und das ist folgerichtig: Gerechnet wurde mit der isentropen Verdichtung aus dem Diagramm, also ohne Verdichterverluste, ohne Druckverluste und ohne Wärmeaufnahme in der Saugleitung. Setzt man statt h₂ = 417 kJ/kg die tatsächliche Heißgasenthalpie eines Verdichters mit rund 66 % innerem Wirkungsgrad ein, also h₂ = 430 kJ/kg, dann sinkt ε_K auf 4,13 und der Gütegrad auf 0,55. Das ist die Voreinstellung des Rechners.
Erweitert man denselben Fall um 5 K Unterkühlung und 10 K Saugüberhitzung und erwärmt sich das Sauggas in der Saugleitung weiter bis +15 °C, dann sind h₃ = 228, h₁ = 401, h₁* = 414 und h₂ = 443 kJ/kg. Die spezifische Kälteleistung steigt auf 173 kJ/kg, der Massenstrom sinkt auf 0,046 kg/s. Die Verdichterarbeit ist w = 443 − 414 = 29 kJ/kg und nicht 443 − 401 = 42 kJ/kg; mit der falschen Differenz käme P = 1,94 kW statt der richtigen 1,34 kW heraus. Die Saugleitung nimmt Q̇_Saug = 0,60 kW auf, sodass der Verflüssiger 9,94 kW abführt: 8 + 1,34 + 0,60. Quelle der Zahlenwerte: Langeheinecke/Jany/Thieleke, Thermodynamik für Ingenieure, 6. Auflage, Beispiel 9.2, S. 200 f.
Häufige Fragen
Warum gibt es kein Auswahlfeld für das Kältemittel?
Weil der Rechner bewusst ohne Stoffdatenbank arbeitet. Die Auslegung geht in der Praxis über das log-p-h-Diagramm oder die Dampftafel des jeweiligen Kältemittels: Sie tragen die beiden Drücke ein, zeichnen den Kreisprozess und lesen die vier Enthalpien ab. Genau diese vier Werte nimmt der Rechner entgegen. Damit ist er für jedes Kältemittel gleich gültig, für R134a ebenso wie für R290, R744 oder Ammoniak, und er behauptet keine Stoffdaten, die er nicht belegen könnte. Der Preis dafür ist ein Arbeitsschritt am Diagramm, den Sie ohnehin machen, wenn Sie den Prozess verstehen wollen.
Warum liegt die Leistungszahl der Wärmepumpe nicht immer genau um eins über der Kältezahl?
Weil die Beziehung ε_W = ε_K + 1 nur gilt, solange die gesamte im Verflüssiger abgegebene Wärme aus dem Verdampfer und dem Verdichter stammt: Q̇_c = Q̇₀ + P, geteilt durch P, ergibt ε_W = ε_K + 1. Erwärmt sich das Sauggas aber in der Saugleitung zwischen Verdampferaustritt und Verdichtereintritt, kommt ein dritter Wärmestrom hinzu. Diese Wärme fließt über den Verflüssiger wieder ab, ohne dass der Verdichter dafür Arbeit leisten muss, und die Bilanz lautet Q̇_c = Q̇₀ + P + Q̇_Saug. Im Beispiel mit Saugüberhitzung ist ε_K = 5,97, ε_W aber 7,41 und nicht 6,97. Der Rechner bildet ε_W deshalb immer aus den tatsächlichen Leistungen und nie als ε_K + 1.
Welchen Gütegrad erreichen reale Anlagen?
Als Erfahrungswert erreichen ausgeführte Kompressionskälteanlagen etwa 0,4 bis 0,6 der Carnot-Leistungszahl, gemessen zwischen Verdampfungs- und Verflüssigungstemperatur. Kleine Anlagen und solche mit großem Druckverhältnis liegen eher am unteren Rand, große und gut geregelte Anlagen am oberen. Werte über 0,6 bedeuten in aller Regel, dass mit dem idealisierten Prozess gerechnet wurde, also mit isentroper Verdichtung ohne Verluste; der ideale Kaltdampfprozess selbst kommt auf rund 0,8 bis 0,85 und bleibt schon wegen der Drosselung und der Überhitzung unter Carnot. Deutlich unter 0,4 deutet auf schlechten Verdichterwirkungsgrad, zu große Temperaturdifferenzen in den Wärmeübertragern oder Druckverluste hin. Das sind Erfahrungswerte zur Einordnung, keine Norm und kein Nachweis.
Welche Enthalpie gehört an den Verdichteraustritt: die isentrope oder die reale?
Das hängt davon ab, was Sie wissen wollen. Tragen Sie die isentrope Enthalpie h₂s ein, also den Punkt auf der Isentropen durch den Verdichtereintritt, dann rechnen Sie den idealen Vergleichsprozess und bekommen die kleinstmögliche Verdichterleistung. Für eine reale Maschine setzen Sie die tatsächliche Heißgasenthalpie ein: h₂ = h₁* + (h₂s − h₁*)/η_i mit dem inneren Wirkungsgrad η_i, der bei Kältemittelverdichtern je nach Bauart und Druckverhältnis etwa 0,6 bis 0,8 beträgt. Erst dann ist der ausgegebene Gütegrad mit der Erfahrungsspanne realer Anlagen vergleichbar.
Was bringen Unterkühlung der Flüssigkeit und Überhitzung des Sauggases?
Die Unterkühlung senkt h₃ und vergrößert damit unmittelbar die spezifische Kälteleistung q₀ = h₁ − h₃, ohne die Verdichterarbeit zu verändern. Sie ist deshalb fast immer ein Gewinn und kostet nur Fläche im Verflüssiger. Die Saugüberhitzung hebt h₁ und vergrößert q₀ ebenfalls, erhöht aber zugleich das spezifische Volumen am Verdichtereintritt und damit den erforderlichen Ansaugvolumenstrom, außerdem steigt die Heißgastemperatur. Ein paar Kelvin Überhitzung sind zum Schutz des Verdichters vor Flüssigkeitsschlägen ohnehin notwendig. Im Beispiel steigt q₀ von 157 auf 173 kJ/kg, der Massenstrom sinkt von 0,051 auf 0,046 kg/s.
Warum sinkt die Leistungszahl so stark, wenn die Verdampfungstemperatur fällt?
Weil die Leistungszahl im Kern von der Temperaturdifferenz lebt, die der Prozess überbrücken muss. Carnot liefert ε_C,K = T₀/(T_c − T₀): Der Zähler wird kleiner und der Nenner größer, sobald T₀ sinkt, die Leistungszahl fällt also doppelt. Von t₀ = −10 °C auf −25 °C bei t_c = +25 °C geht ε_C,K von 7,52 auf 4,97 zurück, ein Verlust von rund einem Drittel. Praktisch heißt das: Jedes Kelvin, das der Verdampfer wärmer laufen darf, und jedes Kelvin, das der Verflüssiger kälter fährt, zahlt sich unmittelbar in der Stromaufnahme aus. Das Diagramm im Rechner zeigt diesen Zusammenhang für Ihren Arbeitspunkt.
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