Ein Viergelenk ist die einfachste ebene Getriebekette, mit der sich eine Drehbewegung in eine andere, ungleichmäßige Bewegung übersetzen lässt: vier Glieder, vier Drehgelenke, ein Antrieb. Diese Seite sagt, welche Größen dabei gerechnet werden, woher sie stammen und wo die Grenzen der Handrechnung liegen.
Ein Getriebe, drei Namen
Viergelenk, Gelenkviereck und Viergelenkgetriebe bezeichnen dasselbe. Als Viergelenkkette wird die Kette benannt, bevor eines ihrer Glieder zum Gestell erklärt wird - welches das ist, entscheidet über die Bauart und macht aus einer Kette mehrere Getriebe. Das Gestell zählt als Glied mit; wer nur die drei beweglichen zählt, wundert sich über den Namen und rechnet den Freiheitsgrad falsch. Die Systematik dahinter steht bei Kerle/Pittschellis/Corves, Einführung in die Getriebelehre, 3. Auflage 2007, Kapitel 2.
Warum genau ein Antrieb genügt
Der Laufgrad eines ebenen Getriebes folgt aus der Abzählformel von Grübler und Tschebyschew: F = 3·(n − 1) − Σu. Dabei ist n die Zahl der Glieder einschließlich Gestell und u die Zahl der Freiheiten, die ein Gelenk sperrt - ein Drehgelenk sperrt zwei. Für das Viergelenk sind das F = 3·(4 − 1) − 4·2 = 1. Ein einziger Antrieb legt die Bewegung damit vollständig fest; das Getriebe ist zwangläufig. Fehlt eine Bindung, ist F größer als die Zahl der Antriebe, und die Lage ist nicht mehr bestimmt; steht eine zu viel, ist die Kette überbestimmt. (Kerle, Kapitel 2.3, Seite 25 bis 30.)
Die Bauart folgt aus vier Längen
Ob und welches Glied voll umläuft, entscheidet die Bedingung von Grashof: Kürzestes plus längstes Glied darf zusammen nicht länger sein als die beiden übrigen zusammen. Ist sie mit echtem Kleiner-Zeichen erfüllt, gibt es voll drehfähige Gelenke, und die Lage des kürzesten Gliedes bestimmt die Bauart:
- Das kürzeste Glied liegt am Gestell: Kurbelschwinge - die Kurbel läuft um, das gegenüberliegende Glied schwingt.
- Das kürzeste Glied ist das Gestell selbst: Doppelkurbel - beide gestellnahen Glieder laufen um.
- Das kürzeste Glied ist die Koppel: umlauffähige Doppelschwinge - beide gestellnahen Glieder schwingen, die Koppel läuft um.
- Die Bedingung ist verletzt: Totalschwinge - kein Glied läuft um.
- Gleichheit statt Kleiner-Zeichen: durchschlagend - das Getriebe kommt durch die Strecklage, aber welchen Zweig es danach nimmt, ist nicht mehr bestimmt.
Nachzulesen bei Kerle, Seite 38, Gleichungen (2.14) bis (2.16). Die Bedingung gilt für die viergliedrige Drehgelenkkette; die Schubkurbelkette hat eine eigene Ungleichungsform, und bei einem Fünfgelenk gibt es überhaupt keine Grashof-Bauart.
Der Übertragungswinkel sagt, ob es leicht geht
Der Übertragungswinkel μ ist der Winkel in der Ecke zwischen Koppel und Schwinge. Bei μ = 90° geht die ganze Koppelkraft in die Bewegung, bei μ = 0° liegt das Getriebe in einer Totlage und klemmt. Geschlossen rechnen lässt er sich aus den vier Längen über
mit a als Kurbel, b als Koppel, c als Schwinge und d als Gestell (Kerle, Seite 161, Gleichung 6.5). Die beiden Werte gehören zu den Steglagen, in denen Kurbel und Gestell fluchten; dazwischen liegt der Winkel höher. Maßgeblich für die Beurteilung ist deshalb nicht der Winkel in einer Stellung, sondern der kleinste über den ganzen Umlauf. Als Erfahrungswert für langsam laufende Getriebe nennt Kerle 40 bis 50 Grad.
Zu jeder Kurbelstellung gehören zwei Lagen
Kurbel, Koppel und Schwinge bilden mit dem Gestell ein Dreieck, und ein Dreieck lässt sich aus denselben Seitenlängen nach beiden Seiten schließen. Zu einer Kurbelstellung gibt es deshalb zwei Montagelagen. Ein zusammengebautes Getriebe bleibt in seinem Zweig - außer im durchschlagenden Grenzfall, in dem beide Lagen zusammenfallen. Wer eine Koppelkurve von Hand aus dem Kosinussatz zusammensetzt, muss diesen Zweig also mitführen; ein Vorzeichenfehler springt sonst mitten im Umlauf auf die andere Bahn.
Die Koppelkurve und der Satz von Roberts
Die Koppelkurve ist die Bahn eines Punktes, der fest mit der Koppel verbunden ist - der eigentliche Grund, warum man Koppelgetriebe baut: Sie kann Bahnstücke liefern, die annähernd gerade sind oder rasten, ohne dass ein Bauteil dafür geführt werden müsste (Kerle, Kapitel 4.1.5, Seite 110). Nach dem Satz von Roberts wird dieselbe Koppelkurve von drei verschiedenen Viergelenken erzeugt; das Gestelldreieck der drei ist dem Koppeldreieck ähnlich. Wer mit einer gefundenen Kurve zufrieden, mit dem Bauraum aber unzufrieden ist, hat damit zwei weitere Getriebe zur Auswahl (Kerle, Kapitel 6.3.1, Seite 185 bis 188, Tafel 6.2).
Warum man das Viergelenk nicht in einem Zug ausrechnet
Für die Lage gibt es keine Formel, die man einfach ausfüllt. Die Schleifengleichung der Kette ist nichtlinear; gelöst wird sie über Vektorschleifen und das Newton-Raphson-Verfahren, und die Jacobi-Matrix dieses Verfahrens ist zugleich die Stelle, an der sich Totlagen als Singularität zeigen (Kerle, Kapitel 4.1, Seite 101 bis 112). Beim Viergelenk geht es zur Not noch mit Zirkel und Kosinussatz. Sobald ein Glied dazukommt oder ein Schubgelenk im Spiel ist, hört das auf, und spätestens für den Verlauf über einen ganzen Umlauf rechnet man es nicht mehr von Hand.
Womit Sie es rechnen können
Genau das macht Kinematik Studio: Sie bauen die Kette aus Gliedern und Gelenken, der Rechner löst die Bindungsgleichungen über den ganzen Antriebsbereich und liefert Lagen und Bahnkurven, den Übertragungswinkel, die Bauart nach Grashof, Momentanpol mit Rast- und Gangpolbahn sowie Antriebsmoment und Gelenkkräfte. Ein Viergelenk ist dabei nur der einfachste Fall; Schubkurbel, Fünfgelenk und eigene Ketten rechnen genauso.
Verwandt und im Zweifel der kürzere Weg: die Kurbelschwinge im Besonderen, der Schubkurbeltrieb mit Kolben und Pleuel und die Kurvenscheibe nach VDI 2143, wenn die Bewegung frei vorgegeben werden soll statt aus vier Längen zu folgen.
Häufige Fragen
Viergelenk, Gelenkviereck, Viergelenkgetriebe - ist das dasselbe?
Ja. Alle drei Wörter bezeichnen die geschlossene Kette aus vier Gliedern und vier Drehgelenken. Wer nur die beweglichen Glieder zählt, kommt auf drei: Das Gestell zählt als Glied mit, sonst ginge die Rechnung des Freiheitsgrades nicht auf. Gebräuchlich ist außerdem Viergelenkkette, wenn die Kette gemeint ist, bevor eines ihrer Glieder zum Gestell erklärt wird.
Wie erkenne ich, ob die Kurbel voll umläuft?
Über die Bedingung von Grashof: Die Summe aus kürzestem und längstem Glied muss kleiner sein als die Summe der beiden übrigen. Ist sie erfüllt, läuft mindestens ein Glied voll um, und welches, entscheidet die Lage des kürzesten. Bei Gleichheit ist das Getriebe durchschlagend und in der Strecklage nicht mehr eindeutig; ist die Bedingung verletzt, schwingt jedes Glied nur. Die Bedingung gilt für die viergliedrige Drehgelenkkette, nicht für die Schubkurbel.
Wie klein darf der Übertragungswinkel werden?
Für langsam laufende Getriebe nennt Kerle 40 bis 50 Grad als Erfahrungswert. Darunter bricht nichts, aber Gelenkkräfte, Reibung und die Empfindlichkeit gegen Gelenkspiel wachsen rasch. Es ist deshalb ein Richtwert und kein bestandener Nachweis - und maßgeblich ist der kleinste Wert über den ganzen Umlauf, nicht der in der Stellung, die man gerade auf dem Bildschirm hat.