Wärmedehnung berechnen
Berechnen Sie, wie viel länger ein Bauteil bei Erwärmung wird, wie sich das Spiel einer Paarung aus zwei Werkstoffen über der Temperatur ändert und welche Temperaturänderung eine gewünschte Längenänderung bringt. Der Ausdehnungskoeffizient kommt aus einer gepflegten Werkstofftabelle oder aus der freien Eingabe - der Rechner zeigt Längenänderung, Flächen- und Volumenänderung sowie den Spielverlauf mit Klemmtemperatur, live mit jeder Eingabe.
Wärmedehnung
Gerechnet wird mit linearer Wärmedehnung und einem über den Temperaturbereich konstanten α. Das Bauteil dehnt sich ungehindert und ist über den Querschnitt gleich warm; Eigenspannungen, Kriechen und Phasenumwandlungen bleiben außer Betracht.
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Formeln und Grundlagen
Längenänderung
Ein Bauteil, das sich ungehindert ausdehnen kann, wird bei einer Temperaturänderung ΔT = T₁ − T₀ um den folgenden Betrag länger:
α ist der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient in 1/K, meist angegeben in 10⁻⁶/K. Bei Abkühlung ist ΔT negativ und das Bauteil wird kürzer. Es entsteht dabei keine Spannung: Der Stab bewegt sich einfach. Erst wenn die Dehnung behindert wird, entsteht die Wärmespannung σ_th = −E·α·ΔT, und dafür ist der Zug/Druck-Stab der richtige Rechner.
Fläche und Volumen
Wächst jede Kante um den Faktor (1 + α·ΔT), so wächst die Fläche mit seinem Quadrat und das Volumen mit seiner dritten Potenz:
Der Rechner benutzt diese exakte Form. Die verbreiteten Näherungen 2·α·ΔT und 3·α·ΔT sind davon die ersten Glieder; sie liegen für Stahl bei 100 K um 0,6 ‰ der Flächenänderung daneben, für Aluminium bei 300 K um 7,0 ‰ der Volumenänderung. Der Unterschied ist klein, aber es kostet nichts, richtig zu rechnen.
Spiel einer Paarung
Sitzen zwei Bauteile ineinander - Welle in Bohrung, Schlitten in Führung -, so ändert sich ihr Spiel s nur, soweit sich beide Teile verschieden stark dehnen. Maßgeblich ist nicht der Unterschied der Koeffizienten allein, sondern das Produkt α·L je Teil:
Der Index a steht für das Außenteil (die Bohrung), i für das Innenteil (die Welle). Ist die Klammer negativ, schrumpft das Spiel; sie wird null, wenn beide Teile aus demselben Werkstoff bestehen und gleich groß sind. Die Temperatur, bei der das Spiel aufgezehrt ist, folgt daraus unmittelbar:
Liegt dieses Ergebnis unterhalb des absoluten Nullpunkts, gibt es keine Klemmtemperatur - die Paarung klemmt dann nie.
Umkehrung: nötige Temperaturänderung
Aus derselben Grundgleichung folgt die Frage nach der Temperatur, mit der eine gewünschte Längenänderung erreicht wird - etwa beim Ausrichten einer langen Welle oder beim thermischen Fügen:
Rechenbeispiel
Voreinstellung des Rechners: ein Stahlträger aus S235JR mit L = 1000 mm wird von 20 auf 120 °C erwärmt. Mit α = 12·10⁻⁶/K und ΔT = 100 K ergibt sich ΔL = 12·10⁻⁶ · 1000 · 100 = 1,2 mm, die neue Länge beträgt 1001,2 mm. Die Fläche wächst um (1,0012)² − 1 = 0,2401 %, das Volumen um (1,0012)³ − 1 = 0,3604 %.
Aufschlussreicher ist die Paarung: Eine POM-C-Welle mit 79,95 mm läuft in einer Stahlbohrung mit 80,00 mm, das Spiel bei 20 °C beträgt also 50 µm. Bei 120 °C dehnt sich die Bohrung um 12·10⁻⁶ · 80 · 100 = 0,096 mm, die Welle dagegen um 110·10⁻⁶ · 79,95 · 100 = 0,87945 mm. Rechnerisch bleibt ein Spiel von 50 + 96 − 879,45 = −733,45 µm, also ein Übermaß. Aufgezehrt ist das Spiel schon bei 26,4 °C - das Lager klemmt, bevor die Maschine warm ist. Mit einer Stahlwelle gleicher Größe bliebe das Spiel dagegen praktisch unverändert.
Umkehrung: Soll sich derselbe Stahlträger um 100 µm verlängern, sind ΔT = 0,1 / (12·10⁻⁶ · 1000) = 8,33 K nötig, also eine Endtemperatur von 28,3 °C.
Häufige Fragen
Warum entsteht bei freier Wärmedehnung keine Spannung?
Weil sich nichts der Verformung entgegenstellt. Der Stab wird länger, mehr passiert nicht - es gibt keine Kraft und damit auch keinen Nachweis zu führen. Eine Spannung entsteht erst, wenn die Dehnung ganz oder teilweise behindert wird, etwa zwischen zwei festen Lagern oder in einem Bauteilverbund aus zwei Werkstoffen. Dafür ist der Zug/Druck-Stab der richtige Rechner; er führt σ_th = −E·α·ΔT und den Sicherheitsnachweis gegen die Streckgrenze.
Wann klemmt eine Passung, und wann geht sie auf?
Entscheidend ist das Produkt α·L beider Teile, nicht der Koeffizient allein. Dehnt sich das Innenteil stärker (α_i·L_i größer als α_a·L_a), schrumpft das Spiel bei Erwärmung und die Paarung klemmt irgendwann. Dehnt sich das Außenteil stärker, wächst das Spiel - dann ist die Abkühlung der kritische Fall. Bei gleichen Werkstoffen wächst alles proportional mit, das Spiel bleibt praktisch unverändert. Der Rechner nennt dazu die Klemmtemperatur, bei der das Spiel rechnerisch null wird.
Warum rechnet der Rechner die Fläche exakt und nicht mit 2·α·ΔT?
Weil die exakte Form nicht aufwendiger ist. (1 + α·ΔT)² − 1 ergibt ausmultipliziert 2·α·ΔT + (α·ΔT)²; die geläufige Näherung lässt einfach das quadratische Glied weg. Bei Stahl und 100 K ist das ein Unterschied von 0,6 ‰ der Flächenänderung, bei Aluminium und 300 K von 3,5 ‰; beim Volumen ist es jeweils rund das Doppelte, dort also 7,0 ‰. Ohne Bedeutung für die Konstruktion, aber es gibt keinen Grund, ungenauer zu rechnen als nötig.
Gilt der Ausdehnungskoeffizient über den ganzen Temperaturbereich?
Nein. Die tabellierten Werte sind Mittelwerte für den Bereich um Raumtemperatur. Bei Stahl steigt α von etwa 11,1·10⁻⁶/K im Bereich 0 bis 100 °C auf rund 13,9·10⁻⁶/K im Bereich 0 bis 600 °C, das sind 25 %. Der Rechner warnt deshalb, sobald eine Temperatur außerhalb von −50 bis 200 °C liegt, bei Kunststoffen bereits ab 100 °C. Die Rechnung bleibt dann richtig, nur ihre Eingangsgröße wird unsicher - für höhere Temperaturen gehört ein Koeffizient aus dem passenden Bereich in die freie Eingabe.
Ist das der richtige Rechner für einen Pressverband?
Nein. Dieser Rechner setzt ein positives Spiel voraus und rechnet, wie es sich mit der Temperatur ändert. Ein Übermaß ist kein Spiel: Dort entstehen Fugendruck, Vergleichsspannung und übertragbares Moment, und dafür gibt es den Pressverband-Rechner nach DIN 7190. Die Temperatur, mit der eine Nabe zum Fügen aufgeweitet werden muss, liefert der Rechner für die Fügetemperatur.
Warum steht neben der reinen Längenänderung keine Ampel?
Weil es dort nichts zu bewerten gibt. Eine Ampel behauptet, ein Wert sei gegen einen Grenzwert geprüft worden; bei einer frei möglichen Dehnung gibt es keinen. Der Rechner zeigt dort deshalb ausdrücklich „ohne Bewertung" in Blau. Bewertet wird nur die Paarung, denn dort gibt es ein Kriterium: Das Spiel muss über den ganzen Temperaturbereich positiv bleiben.
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