Hydraulikzylinder berechnen mit Knicknachweis der Kolbenstange
Legen Sie einen doppeltwirkenden Hydraulikzylinder mit einseitiger Kolbenstange aus: Aus Kolbendurchmesser, Stangendurchmesser und Betriebsdruck folgen die Kolbenkraft beim Ausfahren und die kleinere Zugkraft beim Einfahren, aus dem Volumenstrom die Kolbengeschwindigkeiten, Hubzeiten, der Volumenbedarf je Hub und Zyklus sowie die erforderliche Antriebsleistung der Pumpe. Den Unterschied macht der Knicknachweis: Die ausgefahrene Kolbenstange ist ein Druckstab, und genau daran versagen lange Zylinder. Der Rechner führt ihn nach Euler und Tetmajer, bewertet die Knicksicherheit mit einer Ampel und nennt den maximal zulässigen Hub.
Berechnung
Doppeltwirkender Zylinder mit einseitiger Kolbenstange
Gerechnet werden Kolbenkräfte, Geschwindigkeiten, Hubzeiten, Volumenbedarf und Antriebsleistung im statischen Beharrungszustand. Der Knicknachweis der ausgefahrenen Kolbenstange läuft nach Euler und Tetmajer mit dem Einbaufall als Knicklängenbeiwert.
Modell: doppeltwirkender Zylinder mit einseitiger Kolbenstange, statische Betrachtung ohne Beschleunigungs-, Reibungs- und Gegendruckanteile. Der Wirkungsgrad η deckt Zylinder- und Antriebsverluste zusammen ab. Der Knicknachweis betrachtet die Kolbenstange konservativ als geraden Stab mit Stangendurchmesser über die volle freie Länge, mittig gedrückt, ohne Vorverformung und ohne Führungskräfte durch das Zylinderrohr.
Ergebnisse
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Formeln und Grundlagen
Kolbenkraft beim Ausfahren und Einfahren
Beim Ausfahren wirkt der Betriebsdruck auf die volle Kolbenfläche A_1 = π/4·D², beim Einfahren nur auf die Ringfläche A_2 = π/4·(D² − d²), weil die Kolbenstange einen Teil der Fläche belegt. Die wirksame Kolbenkraft ist Druck mal Fläche mal Wirkungsgrad:
Der Wirkungsgrad η erfasst die Dichtungs- und Führungsreibung; Richtwerte liegen bei 0,85 bis 0,95. Das Verhältnis der beiden Kräfte ist das Flächenverhältnis φ = A_1/A_2: Ein Zylinder Ø63 mit 36 mm Stange zieht nur mit rund zwei Dritteln seiner Druckkraft. Als Merkregel gilt: Kraft in kN gleich Druck in bar mal Fläche in cm² geteilt durch 100.
Kolbengeschwindigkeit, Hubzeit und Volumenbedarf
Die Kolbengeschwindigkeit folgt aus dem zugeführten Volumenstrom und der jeweils beaufschlagten Fläche:
Weil die Ringfläche kleiner ist als die Kolbenfläche, fährt der Zylinder bei gleichem Volumenstrom um das Flächenverhältnis φ schneller ein als aus. Der Volumenbedarf je Hub ist V = A·s, je Zyklus die Summe aus Ausfahr- und Einfahrhub - die Grundlage für Tankgröße, Leitungsquerschnitte und die Auswahl der Ventile.
Hydraulische Leistung und Antriebsleistung
Die hydraulische Leistung ist das Produkt aus Volumenstrom und Druck, die Antriebsleistung an der Pumpenwelle steigt um den Wirkungsgrad:
Die Zahlenwertgleichung mit dem Faktor 600 stammt aus dem Tabellenbuch Metall und rechnet l/min und bar direkt in kW um.
Knicknachweis der Kolbenstange
Die ausgefahrene Kolbenstange ist ein schlanker, mittig gedrückter Stab. Maßgebend ist der ungünstigste Zustand: volle Ausfahrlänge und voller Betriebsdruck. Die freie Knicklänge ist der Abstand der Anlenkpunkte bei ausgefahrener Stange, also l = l_0 + s aus Anlenkmaß und Hub. Aus dem Einbaufall folgt der Knicklängenbeiwert β (eingespannt mit freiem Ende: β = 2; Gelenk/Gelenk: β = 1, der Regelfall bei Schwenkzapfen und Gelenkkopf; eingespannt mit gelenkigem Ende: β = 0,699; beidseitig eingespannt: β = 0,5, wegen Zwangskräften aus Fluchtungsfehlern zu vermeiden). Mit der Knicklänge l_k = β·l und dem Trägheitsradius i = d/4 ergibt sich der Schlankheitsgrad:
Oberhalb der Grenzschlankheit λ_g knickt die Stange elastisch, es gilt Euler; darunter fließt der Werkstoff vorher an, dort gilt Tetmajer:
Aus der Knickspannung folgen die Knickkraft F_k = σ_k·A und die vorhandene Sicherheit S = F_k/F. Der Nachweis läuft konservativ gegen die theoretische Druckkraft ohne Wirkungsgrad, denn der Wirkungsgrad entlastet die Stange nicht, wenn der Druck ansteht. Gefordert sind in der Fluidtechnik S = 3,5 bis 5. Der Rechner nennt zusätzlich den maximal zulässigen Hub, bei dem die geforderte Sicherheit gerade noch erreicht wird, und prüft nebenbei die Druckspannung σ_d = F/A gegen die Streckgrenze - bei kurzen, dicken Stangen ist nicht die Knickung, sondern das Stauchen maßgebend.
Rechenbeispiel
Ein doppeltwirkender Hydraulikzylinder Ø63/d36 nach ISO 6020-2 arbeitet mit 160 bar und einem Wirkungsgrad von 0,9. Die Kolbenfläche beträgt A_1 = π/4·63² = 3117 mm², die Ringfläche A_2 = π/4·(63² − 36²) = 2099 mm², das Flächenverhältnis φ = 1,48. Mit 160 bar = 16 N/mm² folgt die theoretische Druckkraft 16 N/mm²·3117 mm² = 49,9 kN, wirksam mit η = 0,9 also 44,9 kN beim Ausfahren und 30,2 kN beim Einfahren.
Bei einem Volumenstrom von 20 l/min (= 333 333 mm³/s) fährt der Kolben mit v_1 = 333 333/3117 = 107 mm/s aus und mit v_2 = 333 333/2099 = 159 mm/s ein. Für 600 mm Hub sind das 5,6 s zum Ausfahren und 3,8 s zum Einfahren, zusammen 9,4 s je Zyklus. Verschoben werden 1,87 Liter beim Ausfahren und 1,26 Liter beim Einfahren, also 3,13 Liter je Zyklus. Die hydraulische Leistung beträgt 20·160/600 = 5,33 kW, die erforderliche Antriebsleistung 5,33/0,9 = 5,93 kW.
Knicknachweis: Der Zylinder ist über Schwenkzapfen und Gelenkkopf angelenkt (Gelenk/Gelenk, β = 1). Mit einem Anlenkmaß von 250 mm und 600 mm Hub beträgt die freie Länge l = 850 mm, die Knicklänge ebenfalls 850 mm. Die Stange aus E335 hat i = d/4 = 9 mm, daraus λ = 94,4 - über der Grenzschlankheit λ_g = 89, also Euler-Bereich: σ_k = π²·210 000/94,4² = 232 N/mm². Mit A = 1018 mm² ergibt das F_k = 237 kN und gegen die theoretische Druckkraft von 49,9 kN eine Sicherheit S = 4,7, damit über der geforderten 3,5. Bis zu einem Hub von 739 mm bleibt der Nachweis erfüllt; darüber wird die Stange kritisch und man wählt den nächstgrößeren Stangendurchmesser.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Kolbenkraft eines Hydraulikzylinders?
Die Kolbenkraft ist Druck mal wirksame Fläche mal Wirkungsgrad: F = p_e·A·η. Beim Ausfahren ist die wirksame Fläche die Kolbenfläche A_1 = π/4·D², beim Einfahren die Ringfläche A_2 = π/4·(D² − d²). Mit 1 bar = 0,1 N/mm² liefert ein Zylinder Ø63 bei 160 bar rechnerisch 49,9 kN, mit η = 0,9 wirksam rund 44,9 kN.
Warum ist die Zugkraft beim Einfahren kleiner als die Druckkraft?
Beim Einfahren steht der Druck nur auf der Ringfläche zur Verfügung, weil die Kolbenstange einen Teil der Kolbenfläche belegt. Das Verhältnis der beiden Kräfte ist das Flächenverhältnis φ = A_1/A_2. Bei den Normpaarungen nach ISO 6020-2 liegt es je nach Stangendurchmesser zwischen etwa 1,2 und 2,0; genau um diesen Faktor fährt der Zylinder umgekehrt schneller ein als aus.
Was ist die freie Knicklänge und wie ermittle ich das Anlenkmaß?
Für den Knicknachweis zählt der Abstand der beiden Lagerpunkte bei voll ausgefahrener Stange, nicht die Zylinderlänge. Er setzt sich zusammen aus dem Anlenkmaß l_0 bei eingefahrener Stange (Katalogmaß zwischen den Anlenkpunkten) und dem Hub s. Deshalb verschlechtert jeder zusätzliche Millimeter Hub den Knicknachweis quadratisch, solange der Euler-Bereich gilt.
Welche Knicksicherheit ist bei Hydraulikzylindern üblich?
In der Fluidtechnik wird üblicherweise mit S = 3,5 bis 5 gerechnet, viele Hersteller legen 3,5 zugrunde. Bei stoßhaftem Betrieb, außermittigem Kraftangriff oder unsicherer Führung wählt man den oberen Wert. Die Sicherheit bezieht sich auf die Knickkraft, nicht auf die Streckgrenze; der Drucknachweis der Stange wird zusätzlich geführt.
Wann gilt Euler und wann Tetmajer?
Euler gilt nur im elastischen Bereich, also oberhalb der Grenzschlankheit λ_g (bei Baustahl je nach Sorte 89 bis 105). Darunter erreicht die Stange die Fließgrenze, bevor sie elastisch ausknickt - dort liefert die Euler-Formel zu hohe Werte, und es wird nach Tetmajer gerechnet (Gerade σ_k = a − b·λ). Kurze, dicke Kolbenstangen liegen fast immer im Tetmajer-Bereich; der Rechner wählt den Bereich automatisch und weist ihn aus.
Wie groß muss die Pumpe für den Zylinder sein?
Der Volumenstrom folgt aus der gewünschten Kolbengeschwindigkeit: Q = v·A_1 beim Ausfahren. Die hydraulische Leistung ist P = Q·p_e (mit Q in l/min und p in bar: P in kW = Q·p/600), die Antriebsleistung an der Pumpenwelle P/η. Zu beachten: Beim Einfahren verdrängt der Zylinder das größere Kolbenvolumen zurück in den Tank - die Rücklaufleitung ist entsprechend zu dimensionieren.
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