Stirnrad-Geometrie mit Profilverschiebung

Formeln und Grundlagen

Stirnschnitt und Normalschnitt

Bei Schrägverzahnung ist zwischen dem Normalschnitt (Werkzeug, Fertigung) und dem Stirnschnitt (Eingriffsverhältnisse) zu unterscheiden. Aus dem Normalmodul folgen Stirnmodul und Stirneingriffswinkel:

Bei Geradverzahnung ist β = 0, damit mt = mn und αt = αn. Teilkreis und Grundkreis ergeben sich daraus zu d = z·mt und db = d·cos αt, der Null-Achsabstand des Radpaares zu ad = mn·(z1 + z2)/(2·cos β).

Betriebseingriffswinkel über die Evolventenfunktion

Die Evolventenfunktion inv α = tan α − α (α im Bogenmaß) verknüpft die Profilverschiebungssumme mit dem Betriebseingriffswinkel bei spielfreiem Eingriff:

Aus inv αwt muss der Winkel αwt zurückgerechnet werden. Die Gleichung ist nicht geschlossen auflösbar; früher wurde αwt aus einer Evolventenfunktionstabelle abgelesen. Der Rechner löst sie mit dem Newton-Verfahren aus f(α) = tan α − α − inv αwt und f'(α) = tan²α, Startwert α0 = (3·inv αwt)^(1/3) aus der Reihenentwicklung inv α ≈ α³/3. Abgebrochen wird, sobald der Newton-Schritt unter 1e-12 rad liegt, was im üblichen Bereich nach weniger als zehn Schritten erreicht ist.

Achsabstand und Profilverschiebungssumme

Mit dem Betriebseingriffswinkel folgt der Achsabstand des V-Getriebes:

Umgekehrt lässt sich ein konstruktiv vorgegebener Achsabstand durch Profilverschiebung einstellen. Dann wird zuerst αwt aus cos αwt = cos αt·ad/a bestimmt und daraus die erforderliche Summe:

Die Aufteilung auf beide Räder ist eine Auslegungsentscheidung: Ziel ist eine möglichst gleiche Zahnfußtragfähigkeit, ohne am Ritzel Unterschnitt zu erzeugen. Der Rechner folgt der Empfehlung nach DIN 3992 in der Näherungsform (u = z_Großrad/z_Kleinrad, bei Schrägverzahnung mit den Ersatzzähnezahlen zn):

Der zweite Faktor ergibt sich zwingend aus x2 = Σx − x1; entscheidend ist, dass die Summe eingehalten wird. Beide Faktoren lassen sich im Rechner anschließend im Modus „Faktoren x1/x2“ von Hand nachjustieren.

Kopfhöhenänderung und Kopfspiel

Bei einem Außenradpaar wächst der Achsabstand langsamer als die Profilverschiebungssumme. Ohne Gegenmaßnahme schrumpft dadurch das Kopfspiel. Die Kopfhöhenänderung gleicht das aus:

Sie ist beim Außenradpaar stets negativ, verkleinert also beide Kopfkreise. Mit dem Bezugsprofil nach DIN 867 (Kopfhöhenfaktor 1, Kopfspielfaktor 0,25) lauten die Durchmesser:

Der Fußkreis bleibt von der Kopfhöhenänderung unberührt, weil sie nur die Kopfkreise kürzt. Das vorhandene Kopfspiel ist c = a − 0,5·(da1 + df2); mit angewandter Kopfhöhenänderung ergibt sich exakt wieder c = 0,25·mn. Auf die Kopfhöhenänderung kann bei kleiner Profilverschiebungssumme oft verzichtet werden, weil das tiefere Zustellen des Verzahnungswerkzeugs zur Erzeugung des Flankenspiels sie teilweise ausgleicht - der Rechner bietet dafür einen Umschalter und zeigt das jeweils resultierende Kopfspiel.

Unterschnitt und Grenz-Profilverschiebung

Unter einer bestimmten Zähnezahl schneidet das Werkzeug beim Wälzen einen Teil der nutzbaren Evolvente weg. Die theoretische Grenzzähnezahl folgt aus zg = 2/sin²αn (für αn = 20° rund 17), als praktische Grenze gilt 14 Zähne. Für ein profilverschobenes Rad verschiebt sich diese Grenze:

zn ist die Ersatzzähnezahl des gedachten Geradstirnrads im Normalschnitt. Liegt der Profilverschiebungsfaktor eines Rades unter x_grenz, ist mit Unterschnitt zu rechnen; die Ampel des Rechners bewertet zusätzlich den Bereich zwischen praktischer und theoretischer Grenze als knapp.

Überdeckungsgrade

Die Profilüberdeckung ist das Verhältnis von Eingriffsstrecke zu Eingriffsteilung und gibt an, wie viele Zahnpaare im zeitlichen Mittel im Eingriff sind:

Sie soll mindestens 1,1 betragen, empfehlenswert sind mehr als 1,25. Bei Schrägverzahnung kommt die Sprungüberdeckung aus dem Schrägungssprung über der Zahnbreite hinzu, und beide ergeben zusammen die Gesamtüberdeckung:

Die Normalzahndicke am Teilkreis, wie sie in die Zeichnungsangabe eingeht, folgt aus sn = mn·(π/2 + 2·x·tan αn).

Berechnungsgrundlage

Alle Gleichungen entsprechen Roloff/Matek „Maschinenelemente“, Kapitel 21.1 (Geometrie der Stirnräder, Geradverzahnung) und 21.2 (Schrägstirnräder). Gerechnet wird ausschließlich das Außenradpaar mit spielfreiem Eingriff; Innenverzahnung (Hohlrad), Zahndickenabmaße und Flankenspiel sowie die Tragfähigkeit nach ISO 6336 sind nicht Teil dieser Berechnung.

Rechenbeispiel

Referenzbeispiel Geradverzahnung: Ein Radpaar z1 = 18, z2 = 50 mit Modul m = 3 mm hat den Null-Achsabstand ad = 3·68/2 = 102 mm. Konstruktiv gefordert ist aber a = 106,5 mm. Aus cos αwt = (102/106,5)·cos 20° = 0,899987 folgt der Betriebseingriffswinkel αwt = 25,8436°, daraus inv αwt = 0,0333 und mit inv 20° = 0,014904 die erforderliche Profilverschiebungssumme Σx = (0,0333 − 0,014904)/(2·tan 20°)·68 = +1,72. Die Aufteilung nach DIN 3992 liefert x1 ≈ +0,70 für das Ritzel und damit x2 = 1,72 − 0,70 = +1,02 für das Rad.

Damit ergeben sich d1 = 54 mm und d2 = 150 mm, die Fußkreise df1 = 50,7 mm und df2 = 148,62 mm. Rechnet man die Kopfkreise ohne Kopfhöhenänderung zu da1 = 64,2 mm und da2 = 162,12 mm, bleibt nur ein Kopfspiel von c = 106,5 − 0,5·(64,2 + 148,62) = 0,09 mm - deutlich zu wenig. Mit der Kopfhöhenänderung k = 106,5 − 102 − 3·1,72 = −0,66 mm werden die Kopfkreise auf da1 = 62,88 mm und da2 = 160,8 mm gekürzt, und das Kopfspiel liegt wieder bei den üblichen c = 0,75 mm = 0,25·m.

Referenzbeispiel Schrägverzahnung: Für z1 = 26, z2 = 86, mn = 4 mm, β = 15° und b = 50 mm als Nullräder ist αt = arctan(tan 20°/cos 15°) = 20,6469°, d1 = 107,67 mm, d2 = 356,14 mm und ad = 231,90 mm. Die Sprungüberdeckung beträgt εβ = 50·sin 15°/(π·4) = 1,03, die Profilüberdeckung εα = 1,64 und damit die Gesamtüberdeckung εγ = 2,67. Der Schrägungssprung allein deckt hier bereits einen vollen Zahn ab, weshalb Schrägverzahnungen deutlich ruhiger laufen als vergleichbare Geradverzahnungen.

Häufige Fragen

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