Torsion & Verdrehung berechnen

Nur beim Kreis und Kreisrohr sind beide gleich, weil diese Querschnitte sich bei Torsion nicht verwölben. Bei allen anderen Querschnitten (Rechteck, offene und geschlossene Profile) ist das für die Verdrehung maßgebende I_t kleiner als I_p. Wer für ein Rechteck oder Hohlprofil mit I_p rechnet, überschätzt die Steifigkeit deutlich - der Rechner verwendet immer das korrekte I_t.

Sie gelten für dünnwandig geschlossene Hohlprofile. Die 1. Bredtsche Formel gibt die über die Wandstärke konstante Schubspannung τ = T/(2·A_m·t) mit der von der Wandmittellinie umschlossenen Fläche A_m. Die 2. Bredtsche Formel liefert die Verdrehung über I_t = 4·A_m²/(∫ds/t), bei konstanter Wandstärke I_t = 4·A_m²·t/U. Wichtig ist A_m als Fläche der Mittellinie, nicht der Außenkontur.

Gar nicht - Sie geben die Rohmaße ein. Wählen Sie beim geschlossenen Profil die Eingabe über die Außenmaße, tragen Sie Außenbreite b, Außenhöhe h und Wandstärke t ein, und der Rechner bildet die Wandmittellinie selbst: A_m = (b − t)·(h − t) und U = 2·((b − t) + (h − t)). Das ist der Regelweg, weil A_m und U dieselbe Mittellinie beschreiben und sich als zwei freie Zahlen unbemerkt gegeneinander verstimmen lassen. Wer die Außenkontur einsetzt, rechnet sich reich: Beim Rechteckrohr 80 × 40 × 4 ergibt sie A_m = 3200 statt 2736 mm², die Schubspannung fällt 15 Prozent zu niedrig und die Verdrehung 22 Prozent zu klein aus. Die Direkteingabe von A_m und U bleibt für Querschnitte, die kein Rechteckrohr sind; dort prüft der Rechner wenigstens, ob der eingegebene Umfang die eingegebene Fläche überhaupt umschließen kann.

Ja, offene dünnwandige Profile sind ein eigener Querschnittstyp: I, U, L, T, Kreuz, Schlitzrohr oder Flachstahl. Eingegeben wird eine benannte Profilform mit fester Teilezahl - Flachstahl ein Teil, L, T und Kreuz zwei, U, I und IPB drei -, nicht mehr eine frei verlängerbare Liste loser Rechtecke: Die Summenformel gilt für einfach berandete, also einteilige Querschnitte (Hütte, 33. Aufl., S. E 81). Der Unterschied zum geschlossenen Profil bleibt gewaltig. Im geschlossenen Profil läuft der Schubfluss als Ring um den Hohlraum und erzeugt ein großes inneres Moment (Bredt); ein offenes Profil kann diesen Ring nicht bilden, jedes Rechteck muss den Schubfluss in sich selbst schließen. Für ein geschlitztes Rohr mit Mittellinien-Durchmesser d_m und Wandstärke s trägt das geschlossene Rohr bei gleicher Spannung das (3/2)·(d_m/s)-fache Moment und ist um (3/4)·(d_m/s)² steifer - bei d_m/s = 20 also 30-fach tragfähiger und 300-fach steifer. Ein Schlitz von einem Millimeter Breite genügt dafür, denn er unterbricht den Ringfluss vollständig.

Er steht in I_t = (η/3)·Σ h_i·t_i³ und ist der Zuschlag für den schubstarren Verbund der Teile - nicht, so nahe es liegt, ein Zuschlag für den Werkstoff in den Ausrundungen an den Anschlussstellen. Die Summenformel behandelt die Teilrechtecke als unabhängig und setzt voraus, dass zwischen ihnen keine Schubspannungen übertragen werden (Wriggers/Nackenhorst/Beuermann/Spiess/Löhnert, Technische Mechanik kompakt, 2. Aufl. 2006, S. 235). Ein gewalztes Profil verletzt genau das: Seine Teile hängen fest zusammen und können sich nicht mehr frei verwölben, und die behinderte Verwölbung vergrößert das Torsionsträgheitsmoment (ebenda, Tab. 13.3). Die Zahlen sind Versuchswerte für Walzprofile (Hirschfeld, Baustatik, 5. Aufl., S. 127, Gl. (22), nach Versuchen von Föppl; ebenso Dubbel und Hütte): 0,99 für L, 1,12 für U und T, 1,17 für Kreuz, 1,29 für IPB/HEB und 1,31 für I. Sie wählen den Beiwert nicht getrennt, sondern über die Profilform - er folgt aus ihr. Für den Flachstahl gilt η = 1,00, und dort ist das nicht nur konservativ, sondern richtig: ein einzelnes Rechteck hat kein Nachbarteil, das seine Verwölbung behindern könnte. Für geschweißte oder gekantete Profile wählen Sie die formgleiche Reihe; eine freie Summe aus mehreren Flachstählen nimmt der Rechner nicht entgegen, weil die Formel einen einteiligen Querschnitt voraussetzt. Beachten Sie dabei, dass η aus Versuchen an WALZPROFILEN stammt: Bei einer geschweißten oder scharf gekanteten Innenecke ohne Ausrundung liegt es auf der unsicheren Seite - dort ist der Beiwert der Walzreihe zu günstig.

Nicht dort, wo die Tafelformel sie ausweist. W_t = I_t/t_max liefert den Nennwert in der Mitte der Längsseite des dicksten Rechtecks; das wirkliche Maximum liegt an der einspringenden Ecke, also am Übergang von Steg und Flansch. Das Strömungsgleichnis zeigt es anschaulich (Dubbel, Bild 36 c, am Winkelprofil; Läpple, Bild 11.7), und die Hütte nennt auf S. E 91 ausdrücklich die einspringenden Ecken einer Querschnittskontur. Beziffert wird es dort auf S. E 83 mit τ_max = τ·[c + √(1+c²)] und c = t/(4·r), wobei r der Ausrundungsradius ist: Bei t/r = 1 sind es 1,28, bei r = t/2 schon 1,62, bei r = t/4 dann 2,41, und für die scharfe, unausgerundete Ecke wächst der Faktor unbegrenzt. Bei einem gewalzten IPE mit t_Steg = 5,6 mm und r = 12 mm bleibt es bei 1,12. Der Rechner setzt diesen Faktor nicht an - er weist die Nennspannung aus. Bei gewalzten Profilen mit großzügigem Radius ist der Aufschlag klein; bei geschweißten oder scharf gekanteten Innenecken gehört er dazu, entweder über diese Formel oder über einen Kerbwirkungsnachweis.

An zwei Stellen, und der Rechner weist auf beide hin. Erstens setzt die Summenformel schlanke Einzelrechtecke voraus. Dankert/Dankert, Technische Mechanik, 4. Aufl. 2006, S. 360, beziffert die Abweichung beim Dickenverhältnis t/h = 0,1, also genau bei h/t = 10, mit etwa 6 Prozent für I_t wie für W_t; die Näherung überschätzt dabei die Steifigkeit um 6 Prozent und unterschätzt die Spannung um 10 Prozent, bei der Spannung also auf der unsicheren Seite. Ein 100 mm breiter, 10 mm dicker Flansch ist damit genau der Grenzfall, alles Gedrungenere liegt darunter - ein Walzflansch wie der des IPE 200 mit 100 × 8,5 mm liegt mit h/t = 11,8 knapp darüber, die Schenkel von U- und L-Profilen dagegen regelmäßig darunter. Zweitens erfasst der Rechner nur die St.-Venantsche Torsion mit freier Verwölbung. Offene Profile verwölben sich stark, und sobald diese Verwölbung behindert wird - eingespanntes Ende, aufgeschweißte Stirnplatte, Krafteinleitung über ein Anschlussblech -, trägt zusätzlich die Wölbkrafttorsion. Bei kurzen, an den Enden gehaltenen offenen Trägern kann sie den größeren Anteil übernehmen und lässt sich mit diesem Rechner nicht abschätzen; dafür ist ein Nachweis nach der Wölbkrafttorsionstheorie mit dem Wölbwiderstand C_M nötig. Der Hinweis auf die Verwölbung erscheint auch beim Rechteck, denn er hängt an der Nichtkreisförmigkeit und nicht am offenen Profil.

Sie wählen sie. Voreingestellt ist die Gestaltänderungsenergie-Hypothese (von Mises) mit τ_F = R_e/√3 ≈ 0,577·R_e; umschaltbar ist die Schubspannungshypothese (Tresca) mit τ_F = R_e/2, die 15,5 Prozent niedriger liegt und damit auf der sicheren Seite. Läpple bemisst Torsion durchweg mit R_e/2. Welche Hypothese gerechnet wurde, steht im Nachweis in der Eingabenliste. Daraus folgt die zulässige Schubspannung τ_zul = τ_F/S_erf und die vorhandene Sicherheit S_vorh = τ_F/τ, die mit der geforderten Sicherheit S_erf verglichen wird.

Zur Wahl stehen 1,2 / 1,35 / 1,5 / 1,7 / 2,0 und ein freier Wert; voreingestellt ist 1,5, der am breitesten belegte Einzelwert (Roloff/Matek, Böge, Tabellenbuch Metall). Gestaffelt wird nach Schadensfolge und Güte der Lastannahme: 1,2 bei gesicherter Lastannahme und geringer Schadensfolge, 1,35 bei gesicherter Lastannahme und großer Schadensfolge, 1,7 für die Vordimensionierung mit noch offenem Querschnitt, 2,0 bei Personengefährdung oder unsicherer Last. Nicht gestaffelt wird nach ruhender, schwellender oder wechselnder Last - der Lastfall steckt im Werkstoffkennwert und nicht in der Sicherheitszahl. Wer schwingend belastet, braucht einen Dauerfestigkeitsnachweis (Wellenrechner nach DIN 743) und keinen größeren Faktor. Die Reihe gilt für zähe Werkstoffe gegen die Streckgrenze; spröde Werkstoffe werden mit 4,0 bis 9,0 gegen die Zugfestigkeit nachgewiesen (Läpple, Tab. 2.2).

Es sind publizierte Richtwerte aus den Erzeugnisnormen: EN 10025-2 für die Baustähle S235 und S355 sowie E295, EN 10083-2/-3 für C45 und 42CrMo4, EN 10088-2 für den nichtrostenden X5CrNi18-10 und EN 755-2 für die Aluminiumlegierungen. Die Streckgrenzen gelten für Erzeugnisdicken bis 16 mm; dickere Halbzeuge liegen darunter, bei S355 nach EN 10025-2 zum Beispiel 345 N/mm² bis 40 mm und 335 N/mm² bis 63 mm. Der Schubmodul ist mit 81000 N/mm² für Stahl, 77000 N/mm² für den austenitischen Stahl und 26000 N/mm² für Aluminium angesetzt. Wer ein Abnahmeprüfzeugnis, ein Datenblatt oder einen anderen Werkstoff hat, wählt in der Liste die freie Eingabe und trägt G und R_e selbst ein.

Sie ist der Verdrehwinkel je Meter Stablänge, φ' = T/(G·I_t), im Rechner in Grad je Meter. Roloff/Matek (18. Auflage, S. 358) nennt dafür 0,25 bis 0,5 Grad je Meter für Getriebe- und Maschinenwellen und führt den Steifigkeitsnachweis ausdrücklich als zweiten Schritt nach dem Spannungsnachweis. Zur Wahl stehen drei Stufen - 0,25 für Getriebe- und Werkzeugmaschinenwellen, 0,35 für den allgemeinen Maschinenbau, 0,5 für untergeordnete Wellen - und jeder eigene Wert. Es ist ein Richtwert der Gebrauchstauglichkeit und kein Normnachweis; maßgebend ist, was die Funktion verträgt. Wo die Verdrehung selbst stört - Teilung eines Rundschalttischs, Winkellage eines Messsystems, Drehschwingungen im Antriebsstrang -, gilt der eigene, meist strengere Wert. Weil φ' mit der vierten Potenz des Durchmessers fällt, die Spannung aber nur mit der dritten, ist bei langen Wellen fast immer die Steifigkeit maßgebend und nicht die Festigkeit. Beim offenen Profil steht die Ampel mit den Startwerten deshalb auf Rot, und das ist keine Fehlbedienung: Ein IPE 200 verdreht sich unter 500 Nm um 5,2 Grad je Meter, ein U 200 um 3,1 - der Wellen-Richtwert von 0,25 Grad je Meter ist für ein solches Profil der falsche Maßstab. Wer ein offenes Profil auf Torsion beansprucht, prüft, was die Funktion verträgt, und stellt den Richtwert entsprechend ein; wo es auf Torsionssteifigkeit ankommt, gehört ohnehin ein geschlossenes Profil hin.

Über T = 9550·P/n mit P in kW, n in Umdrehungen je Minute und T in Nm. Die Zahl ist 30000/π = 9549,3 und folgt aus P = T·ω mit ω = 2·π·n/60. Beispiel: 7,5 kW bei 1450 min⁻¹ ergeben 49,4 Nm. Hinter einem Getriebe rechnen Sie mit der Abtriebsdrehzahl, sonst mit der Motordrehzahl; den Weg samt Einheiten nimmt Ihnen der Rechner Drehmoment, Drehzahl & Leistung ab. Wichtig ist der Unterschied zwischen Nenn- und Spitzenmoment: Für den Nachweis gegen die Streckgrenze zählt das größte auftretende Moment - Anfahren, Bremsen, Blockieren -, nicht das Dauermoment im Betrieb.

Der Rechner bewertet zwei Dinge getrennt. Beim Schubnachweis zählt die Auslastung, also die geforderte Sicherheit bezogen auf die vorhandene. Rot heißt: der Nachweis ist nicht geführt - die Torsionsschubspannung liegt über τ_zul = τ_F/S_erf. Gelb heißt: geführt, aber mit weniger als 10 Prozent Reserve. Eine vorhandene Sicherheit unter der geforderten ist damit rot und nicht gelb, denn ein nicht geführter Nachweis ist nicht grenzwertig, sondern nicht erfüllt. Bei der bezogenen Verdrillung gilt dieselbe Richtung, nur gegen einen Richtwert statt gegen eine Fließgrenze: Rot heißt, der eingestellte Richtwert ist überschritten, gelb heißt, er ist zu mehr als 90 Prozent ausgeschöpft. Wer mehr Reserve will, erhöht S_erf oder verschärft den Richtwert, statt die Ampel zu deuten.

Für gerade, prismatische Stäbe unter reiner Torsion (St.-Venant) mit freier Verwölbung, linear-elastisch. Nicht berücksichtigt sind Wölbbehinderung (z.B. an Einspannungen offener Profile), überlagerte Biegung, Kerbwirkung an Absätzen und Nuten sowie örtliches Beulen dünnwandiger Querschnitte. Für umlaufende, dauerbeanspruchte Wellen ist zusätzlich ein Ermüdungsnachweis nach DIN 743 zu führen.